Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a integral
utilizando a substituição
. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, ajustar os limites de integração e simplificar a expressão resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Quando fazemos isso, precisamos também substituir
em termos de
. Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a
:
Então, substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
Podemos fatorar isso usando a identidade algébrica:
E sabemos que
. Portanto:
Então, a expressão da raiz fica:
Como estamos trabalhando com
no intervalo onde
é positivo (já que
varia de
a
), podemos simplificar para:
Passo 4
Substituindo isso de volta na integral, temos:
Legal! A
no numerador e no denominador se cancelam, deixando uma integral mais simples.
Passo 5
Agora, precisamos ajustar os limites de integração devido à substituição
:
- Quando
:
- Quando
:
Resposta
Após a substituição
, a integral transformada fica:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: