Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a integral
integral1/2^1 dxraiz1 - x^4
utilizando a substituição . A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, ajustar os limites de integração e simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição dx = cos t , dt . Quando fazemos isso, precisamos também substituir integral dxraiz1 - x^4 = integral cos t , dtraiz1 - (sin t)^4 em termos de . Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a :
Então, substituindo e na integral original, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
1 - (sin t)^4 = 1 - sin^4 t
Podemos fatorar isso usando a identidade algébrica:
1 - sin^4 t = (1 - sin^2 t)(1 + sin^2 t)
E sabemos que 1 - sin^4 t = cos^2 t (1 + sin^2 t) . Portanto:
raiz1 - sin^4 t = raizcos^2 t (1 + sin^2 t) = |cos t| raiz1 + sin^2 t
Então, a expressão da raiz fica:
raiz1 - sin^4 t = cos t raiz1 + sin^2 t
Como estamos trabalhando com no intervalo onde é positivo (já que varia de a ), podemos simplificar para:

Passo 4

Substituindo isso de volta na integral, temos:
integral cos t , dtcos t raiz1 + sin^2 t = integral dtraiz1 + sin^2 t
Legal! A no numerador e no denominador se cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração devido à substituição 1/2 = sin t Rightarrow t = arcsin(1/2) = pi6 :
  • Quando 1 = sin t Rightarrow t = arcsin(1) = pi2 :
  • Quando :

Resposta

Após a substituição integralpi6^pi2 dtraiz1 + sin^2 t , a integral transformada fica:

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