Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar a integral
utilizando a substituição . A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a substituição de variáveis, ajustar os limites de integração e simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Quando fazemos isso, precisamos também substituir em termos de . Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a :
Então, substituindo e na integral original, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
Podemos fatorar isso usando a identidade algébrica:
E sabemos que . Portanto:
Então, a expressão da raiz fica:
Como estamos trabalhando com no intervalo onde é positivo (já que varia de a ), podemos simplificar para:

Passo 4

Substituindo isso de volta na integral, temos:
Legal! A no numerador e no denominador se cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração devido à substituição :
  • Quando :
  • Quando :

Resposta

Após a substituição , a integral transformada fica:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
;
Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: