Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x sen(x) cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente das integrais que envolvem produtos de funções. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da integração por partes e manipular funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes da integral vão ser u e dv. Na integração por partes, a regra é selecionar u como uma função que fica mais simples quando derivamos e dv como o restante que podemos integrar facilmente. Aqui, vamos escolher:
  • u = x (porque a derivada de x é simples)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Derivando u temos: du = dx
  • Integrando dv para achar v, a gente tem que integrar . Sabemos que , então:Podemos ignorar a constante de integração aqui porque ele será absorvido depois.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar e calcular a segunda integral:
- 14 x cos(2x) + 14 integral cos(2x) dx
A integral de cos(2x) é , então:

Resposta

A integral é igual a:

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