Calcular
integral 12+5 x^2 d x
Dica: Usar a fórmula: Se a neq 0, então
integral 1a^2+x^2 d x=1a arctg(xa)+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos usar uma fórmula padrão que nos ajuda a integrar expressões da forma . Precisamos identificar os valores de e ajustar nossa integral para encaixar nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador da integral para se parecer com a fórmula que temos. Olha só:
2 + 5x^2 = 5x^2 + 2
Queremos que o termo com 5x^2 + 2 = 5(x^2 + 25) tenha um coeficiente de 1. Para isso, vamos fatorar o 5:
integral 15(x^2 + 25) dx = 15 integral 1x^2 + 25 dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos comparar com a fórmula que temos:
integral 1a^2 + x^2 dx = 1a arctan(xa) + C
Nesse caso, a = raiz25 = raiz105 . Então, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula à nossa integral:
15 integral 1x^2 + 25 dx = 15 cdot 1a arctan(xa) + C
Substituindo 15 cdot 5raiz10 arctan(xraiz105) + C :

Passo 5

Simplificando os termos:
15 cdot 5raiz10 = 1raiz10
E no argumento da xraiz105 = 5xraiz10 :

Resposta

Portanto, a integral é:
integral 12 + 5x^2 dx = 1raiz10 arctan(5xraiz10) + C

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