Seja
a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva
, abaixo pelo eixos
e pela reta
. Calcular a área da região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a área da região
no primeiro quadrante, que está delimitada pela curva
por cima, pelos eixos
e
embaixo, e pela reta
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral, especificamente integrais definidas, que ajudam a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. Precisamos achar os pontos de interseção entre
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Para facilitar, vamos substituir
por
, então
. A equação fica:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são
e
. Como
não pode ser negativo, descartamos
. Então,
, o que significa que
.
Passo 5
Então, as curvas se intersectam no ponto
. Além disso, a reta
cruza o eixo
quando
:
Então, os limites de integração para
são de 2 a 4.
Passo 6
Agora, para encontrar a área da região
, vamos integrar a diferença entre a curva de cima e a curva de baixo no intervalo de
a
. A curva de cima é
e a curva de baixo é
. A expressão da integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, calculamos cada integral separadamente.
Passo 8
Primeira integral:
Nova integral definida:
Calculando
e
:
Passo 9
Segunda integral:
Nova integral definida:
Calculando:
Passo 10
Agora, subtraímos as duas integrais para encontrar a área:
Simplificando:
Resposta
A área da região
é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
b)
a)
c)
Calcular
Dica: Usar a fórmula: Se
, então