Seja a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva , abaixo pelo eixos e pela reta . Calcular a área da região .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a área da região no primeiro quadrante, que está delimitada pela curva por cima, pelos eixos e embaixo, e pela reta . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral, especificamente integrais definidas, que ajudam a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. Precisamos achar os pontos de interseção entre e . Para isso, igualamos as duas expressões:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Para facilitar, vamos substituir por , então . A equação fica:
Rearranjando:

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são e . Como não pode ser negativo, descartamos . Então, , o que significa que .

Passo 5

Então, as curvas se intersectam no ponto . Além disso, a reta cruza o eixo quando :
Então, os limites de integração para são de 2 a 4.

Passo 6

Agora, para encontrar a área da região , vamos integrar a diferença entre a curva de cima e a curva de baixo no intervalo de a . A curva de cima é e a curva de baixo é . A expressão da integral fica:
Á

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Á
Agora, calculamos cada integral separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
Nova integral definida:
Calculando e :

Passo 9

Segunda integral:
Nova integral definida:
Calculando:

Passo 10

Agora, subtraímos as duas integrais para encontrar a área:
Á
Simplificando:
Á

Resposta

A área da região é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
b)
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
a)
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
c)
Calcular
Dica: Usar a fórmula: Se , então