Verifique que é solução da equação de Ricatti . Determine as demais soluções.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação de Riccati que é do tipo:
Nos pedem para verificar que é uma solução dessa equação e depois encontrar as outras soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de Riccati e como encontrar soluções usando uma solução particular já conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a equação dada. Para isso, precisamos calcular a derivada de e substituir na equação.
Sabemos que:
Agora, vamos substituir e na equação de Riccati:
Simplificando o lado direito:
Vemos que os dois lados da equação são iguais, então realmente é uma solução da equação de Riccati.

Passo 3

Agora, para encontrar as demais soluções, vamos usar a solução particular que já temos ( ) para transformar a equação de Riccati em uma equação linear. Isso é feito substituindo por , onde é uma nova função a ser determinada.
Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de :
Substituindo e na equação original:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Agora, podemos cancelar os termos dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar as frações:
Rearranjando:

Passo 4

Agora, temos uma equação linear para :
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. A equação tem a forma:
onde e .
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Infelizmente, a integral não tem uma solução elementar. Portanto, não podemos expressar de forma fechada usando funções básicas.

Passo 5

Como não conseguimos resolver a integral de forma simplificada, sabemos que as soluções da equação de Riccati são dadas por:
Onde satisfaz a equação linear que encontramos. Então, as demais soluções da equação de Riccati são expressas em termos de , que envolve uma integral que não pode ser escrita de forma elementar.

Resposta

As soluções da equação de Riccati são e todas as soluções da forma , onde satisfaz a equação diferencial linear .

Exercícios relacionados

Calcular
Dica: Usar a fórmula: Se , então
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
c)
Calcule a derivada das seguintes funções:
(e)
Resolva o problema de valor inicial .