Verifique que
é solução da equação de Ricatti
. Determine as demais soluções.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação de Riccati que é do tipo:
Nos pedem para verificar que
é uma solução dessa equação e depois encontrar as outras soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de Riccati e como encontrar soluções usando uma solução particular já conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente satisfaz a equação dada. Para isso, precisamos calcular a derivada de
e substituir na equação.
Sabemos que:
Agora, vamos substituir
e
na equação de Riccati:
Simplificando o lado direito:
Vemos que os dois lados da equação são iguais, então realmente
é uma solução da equação de Riccati.
Passo 3
Agora, para encontrar as demais soluções, vamos usar a solução particular que já temos (
) para transformar a equação de Riccati em uma equação linear. Isso é feito substituindo
por
, onde
é uma nova função a ser determinada.
Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Agora, podemos cancelar os termos
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, temos uma equação linear para
:
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. A equação tem a forma:
onde
e
.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Infelizmente, a integral
não tem uma solução elementar. Portanto, não podemos expressar
de forma fechada usando funções básicas.
Passo 5
Como não conseguimos resolver a integral de forma simplificada, sabemos que as soluções da equação de Riccati são dadas por:
Onde
satisfaz a equação linear que encontramos. Então, as demais soluções da equação de Riccati são expressas em termos de
, que envolve uma integral que não pode ser escrita de forma elementar.
Resposta
As soluções da equação de Riccati
são
e todas as soluções da forma
, onde
satisfaz a equação diferencial linear
.
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Calcular
Dica: Usar a fórmula: Se
, então
c)
Calcule a derivada das seguintes funções:
(e)
(e)