Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de equação, verificar sua ordem, linearidade e homogeneidade, e então aplicar métodos apropriados para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Vamos mover o primeiro termo para o outro lado:
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar cancelando os termos comuns no numerador e denominador:
Passo 3
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea, já que pode ser escrita na forma:
onde
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Como estamos trabalhando com soluções gerais, podemos ignorar o valor absoluto:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação no seguinte:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Classificação da Equação
- Ordem: Primeira ordem (pois a derivada de primeira ordem
aparece). - Linearidade: Linear (pode ser escrita na forma
). - Homogeneidade: Sim, é homogênea (não há termo independente de
).
Exercícios relacionados
Seja
a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva
, abaixo pelo eixos
e pela reta
. Calcular a área da região
.
b)
Calcular
Dica: Usar a fórmula: Se
, então