Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar identificar o tipo de equação, verificar sua ordem, linearidade e homogeneidade, e então aplicar métodos apropriados para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Vamos mover o primeiro termo para o outro lado:
Agora, isolamos :
Podemos simplificar cancelando os termos comuns no numerador e denominador:

Passo 3

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea, já que pode ser escrita na forma:
onde .

Passo 4

Para resolver essa equação linear, usamos o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Como estamos trabalhando com soluções gerais, podemos ignorar o valor absoluto:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação no seguinte:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Classificação da Equação

  • Ordem: Primeira ordem (pois a derivada de primeira ordem aparece).
  • Linearidade: Linear (pode ser escrita na forma ).
  • Homogeneidade: Sim, é homogênea (não há termo independente de ).

Exercícios relacionados

Seja a região do primeiro quadrante delimitada acima pela curva , abaixo pelo eixos e pela reta . Calcular a área da região .
Encontre a solução geral ou resolva o PVI. Classifique cada equação quanto a ordem, linearidade e homogeneidade.
b)
Calcular
Dica: Usar a fórmula: Se , então
Verifique que é solução da equação de Ricatti . Determine as demais soluções.