Calcular as seguintes integrais curvilíneas:
, onde
é o segmento de reta AB , com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral curvilínea
, onde
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Esse tipo de integral faz parte do estudo de cálculo vetorial, e para resolver, vamos precisar parametrizar a reta, calcular
(o elemento de comprimento ao longo da curva) e lidar com os valores absolutos presentes na função integranda.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Para isso, escolhemos um parâmetro
que varia de 0 a 1. A equação paramétrica da reta que vai de
a
é:
Então, nossas funções paramétricas são:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
, que são as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas serão usadas para encontrar
, o elemento de comprimento.
Passo 4
O elemento de comprimento
é dado por:
Passo 5
Substituindo
,
e
na integral original, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que
é sempre positivo para
, então
. Já
muda de sinal quando
. Portanto, vamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 0.5 e de 0.5 a 1.
Passo 7
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, reescrevemos a integral dividida:
Simplificando dentro das integrais:
Passo 9
Agora, vamos calcular as integrais:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 10
Somando as duas integrais:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral curvilínea
é igual a
.