Calcular as seguintes integrais curvilíneas: , onde é o segmento de reta AB , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral curvilínea , onde é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Esse tipo de integral faz parte do estudo de cálculo vetorial, e para resolver, vamos precisar parametrizar a reta, calcular (o elemento de comprimento ao longo da curva) e lidar com os valores absolutos presentes na função integranda.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Para isso, escolhemos um parâmetro que varia de 0 a 1. A equação paramétrica da reta que vai de a é:
Então, nossas funções paramétricas são:

Passo 3

Agora, vamos calcular e , que são as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas serão usadas para encontrar , o elemento de comprimento.

Passo 4

O elemento de comprimento é dado por:

Passo 5

Substituindo , e na integral original, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que é sempre positivo para , então . Já muda de sinal quando . Portanto, vamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 0.5 e de 0.5 a 1.

Passo 7

Para :
Para :

Passo 8

Agora, reescrevemos a integral dividida:
Simplificando dentro das integrais:

Passo 9

Agora, vamos calcular as integrais:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 10

Somando as duas integrais:
Multiplicando pelo fator :

Resposta

A integral curvilínea é igual a .

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