Calcular as seguintes integrais curvilíneas: integralC(|x|+|y|) d s, onde C é o segmento de reta AB , com A(-2,0) e B(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral curvilínea , onde é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Esse tipo de integral faz parte do estudo de cálculo vetorial, e para resolver, vamos precisar parametrizar a reta, calcular (o elemento de comprimento ao longo da curva) e lidar com os valores absolutos presentes na função integranda.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x(t) = xA + (xB - xA)t = -2 + (2 - (-2))t = -2 + 4t . Para isso, escolhemos um parâmetro y(t) = yA + (yB - yA)t = 0 + (2 - 0)t = 2t que varia de 0 a 1. A equação paramétrica da reta que vai de x(t) = -2 + 4t a y(t) = 2t é:
Então, nossas funções paramétricas são:

Passo 3

Agora, vamos calcular dxdt = 4 e dydt = 2 , que são as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas serão usadas para encontrar , o elemento de comprimento.

Passo 4

O elemento de comprimento ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt = raiz4^2 + 2^2 dt = raiz16 + 4 dt = raiz20 dt = 2raiz5 dt é dado por:

Passo 5

Substituindo integralC(|x| + |y|) ds = integral0^1 (|-2 + 4t| + |2t|) cdot 2raiz5 dt , e na integral original, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que é sempre positivo para , então . Já muda de sinal quando . Portanto, vamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 0.5 e de 0.5 a 1.

Passo 7

Para x(t) = -2 + 4t <= 0 Rightarrow |x(t)| = -x(t) = 2 - 4t :
x(t) = -2 + 4t >= 0 Rightarrow |x(t)| = x(t) = -2 + 4t
Para :

Passo 8

Agora, reescrevemos a integral dividida:
integralC(|x| + |y|) ds = 2raiz5 [ integral0^0.5 (2 - 4t + 2t) dt + integral0.5^1 (-2 + 4t + 2t) dt ]
Simplificando dentro das integrais:
= 2raiz5 [ integral0^0.5 (2 - 2t) dt + integral0.5^1 (-2 + 6t) dt ]

Passo 9

Agora, vamos calcular as integrais:
Para a primeira integral:
integral0^0.5 (2 - 2t) dt = [2t - t^2]0^0.5 = (2 cdot 0.5 - (0.5)^2) - (0 - 0) = (1 - 0.25) = 0.75
Para a segunda integral:
integral0.5^1 (-2 + 6t) dt = [-2t + 3t^2]0.5^1 = (-2 cdot 1 + 3 cdot 1^2) - (-2 cdot 0.5 + 3 cdot (0.5)^2) = (-2 + 3) - (-1 + 0.75) = (1) - (-0.25) = 1.25

Passo 10

Somando as duas integrais:
0.75 + 1.25 = 2
Multiplicando pelo fator 2raiz5 cdot 2 = 4raiz5 :

Resposta

A integral curvilínea é igual a .

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