Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de um campo vetorial do ponto até o ponto . O caminho que vamos seguir é a intersecção da superfície com a condição .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e depois calcular a integral ao longo dessa trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho que precisamos seguir. A intersecção da superfície com a condição nos dá uma curva no espaço. Como , podemos substituir por na equação de :
Então, nosso caminho pode ser parametrizado usando uma única variável, digamos , onde varia de 0 a 1 (já que vamos de a ).
Passo 3
Vamos definir a parametrização do caminho:
Aqui, varia de 0 a 1. Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas fun��ões em relação a :
Passo 4
Agora, expressamos o vetor derivada :
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho parametrizado é dada por:
Passo 5
Vamos substituir na integral. Temos:
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, avaliando de 0 a 1:
Resposta
A integral do campo vetorial ao longo do caminho especificado é igual a .