Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de um campo vetorial do ponto até o ponto . O caminho que vamos seguir é a intersecção da superfície com a condição .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e depois calcular a integral ao longo dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho que precisamos seguir. A intersecção da superfície com a condição nos dá uma curva no espaço. Como , podemos substituir por na equação de :
Então, nosso caminho pode ser parametrizado usando uma única variável, digamos , onde varia de 0 a 1 (já que vamos de a ).

Passo 3

Vamos definir a parametrização do caminho:
Aqui, varia de 0 a 1. Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas fun��ões em relação a :

Passo 4

Agora, expressamos o vetor derivada :
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho parametrizado é dada por:

Passo 5

Vamos substituir na integral. Temos:
Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, avaliando de 0 a 1:

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo do caminho especificado é igual a .

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