, em que C é a semicircunferência com centro em
e raio 2 , com
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de
ao longo da curva
, que é uma semicircunferência com centro em
, raio 2, e onde
. Isso envolve cálculos de cálculo integral, especificamente integrais de linha em geometria.
Passo 2
Primeiro, precisamos descrever a curva
de forma paramétrica para facilitar o cálculo. Como
é uma semicircunferência com centro em
e raio 2, podemos usar a equação paramétrica de uma circunferência:
Como estamos lidando com a semicircunferência onde
, o parâmetro
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um pequeno segmento de arco na curva
. Em termos de parametrização, temos:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Para resolver a integral
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Resposta
Somando os dois resultados:
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(m)
(m)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(n)
(n)
Calcular a integral curvilínea do campo vetorial
ao longo da curva
dada.
é a elipse
, no plano
, orientada no sentido anti - horário.
Calcular a integral do campo vetorial
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e
;
A intersecção da superfície