integralC y^2 d s, em que C é a semicircunferência com centro em (2,0) e raio 2 , com y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de ao longo da curva , que é uma semicircunferência com centro em , raio 2, e onde . Isso envolve cálculos de cálculo integral, especificamente integrais de linha em geometria.

Passo 2

Primeiro, precisamos descrever a curva x = 2 + 2cos(theta) de forma paramétrica para facilitar o cálculo. Como y = 0 + 2sin(theta) é uma semicircunferência com centro em e raio 2, podemos usar a equação paramétrica de uma circunferência:
Como estamos lidando com a semicircunferência onde , o parâmetro varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds = raiz( dxdtheta )^2 + ( dydtheta )^2 , dtheta , que representa um pequeno segmento de arco na curva dxdtheta = -2sin(theta) . Em termos de parametrização, temos:
dydtheta = 2cos(theta)
Calculando as derivadas:
ds = raiz(-2sin(theta))^2 + (2cos(theta))^2 , dtheta = raiz4sin^2(theta) + 4cos^2(theta) , dtheta = raiz4(sin^2(theta) + cos^2(theta)) , dtheta = raiz4 , dtheta = 2 , dtheta
Então,

Passo 4

Agora, substituímos integralC y^2 , ds = integral0^pi (2sin(theta))^2 cdot 2 , dtheta = integral0^pi 4sin^2(theta) cdot 2 , dtheta = integral0^pi 8sin^2(theta) , dtheta e na integral original:

Passo 5

Para resolver a integral sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 , podemos usar a identidade trigonométrica:
integral0^pi 8sin^2(theta) , dtheta = 8 integral0^pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 4 integral0^pi (1 - cos(2theta)) , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
4 integral0^pi 1 , dtheta = 4[theta]0^pi = 4pi
4 integral0^pi -cos(2theta) , dtheta = -4 [ sin(2theta)2 ]0^pi = -2[sin(2pi) - sin(0)] = -2(0 - 0) = 0

Resposta

Somando os dois resultados:
4pi + 0 = 4pi
Portanto, o valor da integral é .

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