, em que C é a semicircunferência com centro em e raio 2 , com

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de ao longo da curva , que é uma semicircunferência com centro em , raio 2, e onde . Isso envolve cálculos de cálculo integral, especificamente integrais de linha em geometria.

Passo 2

Primeiro, precisamos descrever a curva de forma paramétrica para facilitar o cálculo. Como é uma semicircunferência com centro em e raio 2, podemos usar a equação paramétrica de uma circunferência:
Como estamos lidando com a semicircunferência onde , o parâmetro varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para , que representa um pequeno segmento de arco na curva . Em termos de parametrização, temos:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Para resolver a integral , podemos usar a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:

Resposta

Somando os dois resultados:
Portanto, o valor da integral é .

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(m)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(n)
Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
é a elipse , no plano , orientada no sentido anti - horário.
Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e ;