Determine equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal a uma superfície no ponto dado. A superfície é definida pela equação e o ponto específico é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e o gradiente da função que define a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo os valores:
Como o lado esquerdo iguala o lado direito, o ponto está na superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos do gradiente da função no ponto dado. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é perpendicular à superfície.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Avaliando o gradiente no ponto :
Então, o gradiente é .

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando o gradiente e o ponto dado:
Simplificando:

Passo 6

Para a reta normal, usamos o ponto e a direção do gradiente . A equação paramétrica da reta é:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
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Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e ;
Dada , determine
Dada , determine