Determine equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal a uma superfície no ponto dado. A superfície é definida pela equação e o ponto específico é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e o gradiente da função que define a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto realmente está na superfície. Substituindo os valores:
Como o lado esquerdo iguala o lado direito, o ponto está na superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos do gradiente da função no ponto dado. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é perpendicular à superfície.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Avaliando o gradiente no ponto :
Então, o gradiente é .
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita usando o gradiente e o ponto dado:
Simplificando:
Passo 6
Para a reta normal, usamos o ponto e a direção do gradiente . A equação paramétrica da reta é:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: