Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada. é a elipse , no plano , orientada no sentido anti - horário.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . O campo vetorial é dado por e a curva é uma elipse definida por no plano , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar uma curva e como calcular o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse . Podemos dividir todos os termos por 36 para deixar na forma padrão:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 6 na direção de e 2 na direção de . Para parametrizar essa curva, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Onde varia de 0 a para completar a elipse no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor posição e seu derivado :
Essas expressões nos dão a direção e magnitude do deslocamento ao longo da curva.
Passo 4
Vamos substituir , e nas componentes do campo vetorial :
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 6
Agora, integramos o resultado de a :
Resposta
A integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva é .