Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
é a elipse , no plano , orientada no sentido anti - horário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . O campo vetorial é dado por e a curva é uma elipse definida por no plano , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar uma curva e como calcular o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse . Podemos dividir todos os termos por 36 para deixar na forma padrão:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 6 na direção de e 2 na direção de . Para parametrizar essa curva, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Onde varia de 0 a para completar a elipse no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor posição e seu derivado :
Essas expressões nos dão a direção e magnitude do deslocamento ao longo da curva.

Passo 4

Vamos substituir , e nas componentes do campo vetorial :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos o resultado de a :

Resposta

A integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva é .

Exercícios relacionados

, em que C é a semicircunferência com centro em e raio 2 , com
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(m)
Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e ;
Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
é a intersecção das superfícies , sentido anti - horário;