Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
é a intersecção das superfícies , sentido anti - horário;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é definida como a intersecção das superfícies e . Vamos simplificar a equação completando o quadrado.

Passo 3

Completo o quadrado para na equação :
Isso mostra que a curva é um círculo no plano com centro em e raio . Além disso, temos que , então a curva está no espaço tridimensional com variando conforme .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a curva . Usando a parametrização de um círculo, temos:
onde .

Passo 5

Em seguida, calculamos as derivadas das funções paramétricas em relação a para obter o vetor diferencial :
Então,

Passo 6

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial :

Passo 7

A integral de linha fica então:

Passo 8

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Simplificando os termos:

Passo 9

Agora, integrando de a :
Sabemos que a integral de de a é zero, pois a função é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

A integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva é igual a .

Exercícios relacionados

Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e ;
Calcular a integral curvilínea do campo vetorial ao longo da curva dada.
é a elipse , no plano , orientada no sentido anti - horário.
Determine equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
Dada , determine