Calcular a integral curvilínea do campo vetorial f ao longo da curva C dada.
vec(f)(x, y, z) = < x, y, z > ; C é a intersecção das superfícies x^2 + y^2 - y = 0 ez = y, sentido anti - horário;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial f ao longo da curva C. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva C e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva C. Ela é definida como a intersecção das superfícies e . Vamos simplificar a equação completando o quadrado.

Passo 3

Completo o quadrado para y na equação :
Isso mostra que a curva C é um círculo no plano xy com centro em e raio 1/2. Além disso, temos que , então a curva está no espaço tridimensional com z variando conforme y.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a curva C. Usando a parametrização de um círculo, temos:
onde .

Passo 5

Em seguida, calculamos as derivadas das funções paramétricas em relação a theta para obter o vetor diferencial :
Então,

Passo 6

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial f:

Passo 7

A integral de linha fica então:

Passo 8

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Simplificando os termos:

Passo 9

Agora, integrando de 0 a :
Sabemos que a integral de cos(theta) de 0 a é zero, pois a função é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

A integral curvilínea do campo vetorial f ao longo da curva C é igual a 0.

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