Calcular a integral curvilínea do campo vetorial
ao longo da curva
dada.
é a intersecção das superfícies
, sentido anti - horário;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é definida como a intersecção das superfícies
e
. Vamos simplificar a equação
completando o quadrado.
Passo 3
Completo o quadrado para
na equação
:
Isso mostra que a curva
é um círculo no plano
com centro em
e raio
. Além disso, temos que
, então a curva está no espaço tridimensional com
variando conforme
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a curva
. Usando a parametrização de um círculo, temos:
onde
.
Passo 5
Em seguida, calculamos as derivadas das funções paramétricas em relação a
para obter o vetor diferencial
:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo vetorial
:
Passo 7
A integral de linha fica então:
Passo 8
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Simplificando os termos:
Passo 9
Agora, integrando de
a
:
Sabemos que a integral de
de
a
é zero, pois a função é simétrica e suas áreas positivas e negativas se cancelam.
Resposta
A integral curvilínea do campo vetorial
ao longo da curva
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular a integral do campo vetorial
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
A intersecção da superfície e
;
A intersecção da superfície
Calcular a integral curvilínea do campo vetorial
ao longo da curva
dada.
é a elipse
, no plano
, orientada no sentido anti - horário.
Determine equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
Dada
, determine