Calcular: integral cos ^3(3 x) sen(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de . Estamos no ramo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos cos^3(3x) multiplicado por . A ideia aqui é simplificar essa expressão escolhendo uma parte para ser substituída. Vamos deixar a potência ímpar de cosseno separada e usar a identidade trigonométrica para ajudar na substituição.

Passo 3

Vamos escrever cos^3(3x) como cos^2(3x) cdot cos(3x). Agora, lembrando que , podemos reescrever a parte cos^2(u) = 1 - sen^2(u).

Passo 4

Substituindo, temos:
Agora, vamos escolher uma substituição. Vamos deixar . Porque, ao derivar cos^3(3x) cdot sen(3x) = (1 - sen^2(3x)) cdot cos(3x) cdot sen(3x) , teremos algo que aparece na integral.

Passo 5

Calculando a derivada de u:
du = 3cos(3x) , dx Rightarrow du3 = cos(3x) , dx
Isso nos ajuda a substituir a parte cos(3x) , dx na integral.

Passo 6

Agora, substituindo tudo na integral original:
integral (1 - u^2) cdot u cdot du3 = 13 integral (u - u^3) , du

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
13 ( integral u , du - integral u^3 , du ) = 13 ( u^22 - u^44 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituindo de volta:

Resposta

A integral de é:
onde cos^3(3x) cdot sen(3x) , dx é a constante de integração.

Exercícios relacionados