Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O desafio é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente verifica se não tem “quebras” ou “saltos” na função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada pedaço da função separadamente. Funções lineares como para e para são contínuas em todo o seu domínio. Já também é uma função polinomial contínua em todo o seu domínio, que nesse caso é .
Passo 3
Agora, precisamos prestar atenção nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos e . É nesses pontos que podemos ter alguma descontinuidade.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade em :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Como os limites laterais são iguais e coincidem com o valor da função, é contínua em .
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em :
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Valor da função em :
Aqui, os limites laterais não são iguais (), então apresenta uma descontinuidade em .
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função é todos os números reais exceto . Ou seja,