Calcular: integral x^2-2 xraiz[4](x^3-3 x^2+5)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral:
integral x^2-2xraiz[4](x^3-3x^2+5)^3 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve raízes e polinômios. Para resolver, vamos usar substituição e álgebra de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte com a raiz. Sabemos que:
raiz[4](x^3-3x^2+5)^3 = (x^3-3x^2+5)^3/4
Então, nossa integral fica:
integral x^2-2x(x^3-3x^2+5)^3/4 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x^3 - 3x^2 + 5
Isso significa que nossa função dentro da raiz é .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 - 6x em relação a du = (3x^2 - 6x) , dx para encontrar :
Ou seja,

Passo 5

Observamos que o numerador da nossa integral é x^2 - 2x = 13(3x^2 - 6x) = 13 du , que podemos relacionar com integral 13 duu^3/4 = 13 integral u^-3/4 , du :
Então, substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^-3/4 , du = u^1 - 3/41 - 3/4 = u^1/41/4 = 4u^1/4 :
13 times 4u^1/4 = 43 u^1/4
Multiplicando pela constante que tínhamos:

Passo 7

Por fim, substituímos 43 (x^3 - 3x^2 + 5)^1/4 + C de volta para :

Resposta

A integral calculada é:
43 (x^3 - 3x^2 + 5)^1/4 + C

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