Calcular: integral sec ^2 xtg^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições básicas das funções trigonométricas e de como simplificar expressões para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x é a mesma coisa que tan^2 x = (sin xcos x)^2 = sin^2 xcos^2 x . Além disso, sabemos que:
sec^2 x = (1cos x)^2 = 1cos^2 x
Então, podemos reescrever e em termos de e :

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões na integral original:
integral sec^2 xtan^2 x , dx = integral 1cos^2 xsin^2 xcos^2 x , dx
Simplificando a fração:
1cos^2 xsin^2 xcos^2 x = 1sin^2 x = csc^2 x
Então, a integral fica:
integral csc^2 x , dx

Passo 4

Agora, precisamos lembrar da integral de integral csc^2 x , dx = -cot x + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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