Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(m)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial em relação a cada variável independente, que nesse caso são e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , representada por . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante.
A função é . Para derivar isso em relação a , precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto diz que a derivada de uma multiplicação de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então, temos:
A derivada de em relação a é 1, então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , representada por . Desta vez, vamos derivar tratando como uma constante.
A função é . A derivada de em relação a é , porque aplicamos a regra da cadeia aqui.
Então, temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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