Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(i) pela definição de integral definida, usando que éá, calculando o limite da Soma de Riemann. Justifique (3 pontos)
LEMBRETE:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Estamos indo usar a definição de integral definida através das Somatórios de Riemann. Isso significa que vamos dividir a área sob a curva em retângulos, calcular a soma dessas áreas e ver o que acontece quando o número de retângulos cresce infinitamente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Somatório de Riemann e saber como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração: e . A função que vamos integrar é .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, , é dado por:

Passo 4

Os pontos de amostragem são determinados por:
para .

Passo 5

A soma de Riemann usando os pontos direitos é:
Simplificando a expressão dentro da soma:
Então, a soma fica:

Passo 6

Vamos separar a soma:
Aqui, usamos a fórmula .

Passo 7

Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos tirar o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A integral definida é igual a 56.

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