Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(i) pela definição de integral definida, usando que , calculando o limite da Soma de Riemann. Justifique (3 pontos)
LEMBRETE:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida . Estamos indo usar a definição de integral definida através das Somatórios de Riemann. Isso significa que vamos dividir a área sob a curva em retângulos, calcular a soma dessas áreas e ver o que acontece quando o número de retângulos cresce infinitamente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Somatório de Riemann e saber como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração: e . A função que vamos integrar é .
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, , é dado por:
Passo 4
Os pontos de amostragem são determinados por:
para .
Passo 5
A soma de Riemann usando os pontos direitos é:
Simplificando a expressão dentro da soma:
Então, a soma fica:
Passo 6
Vamos separar a soma:
Aqui, usamos a fórmula .
Passo 7
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos tirar o limite quando tende ao infinito: