Calcular a integral definida integral-6^8(1+3 x) d x de 3 maneiras:
(i) pela definição de integral definida, usando que f é integrável em [a, b]éá, calculando o limite da Soma de Riemann. Justifique (3 pontos)
LEMBRETE:
l integrala^b f(x) d x=lim n infty sumk=1^n f(xk) De

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Estamos indo usar a definição de integral definida através das Somatórios de Riemann. Isso significa que vamos dividir a área sob a curva em retângulos, calcular a soma dessas áreas e ver o que acontece quando o número de retângulos cresce infinitamente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Somatório de Riemann e saber como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração: e . A função que vamos integrar é .

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo De em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, , é dado por:

Passo 4

Os pontos de amostragem xk = a + k cdot De são determinados por:
para .

Passo 5

A soma de Riemann usando os pontos direitos é:
sumk=1^n f(xk) De
Simplificando a expressão dentro da soma:
1 + 3(-6 + 14kn) = 1 - 18 + 42kn = -17 + 42kn
Então, a soma fica:
sumk=1^n (-17 + 42kn) cdot 14n = 14n sumk=1^n (-17 + 42kn)

Passo 6

Vamos separar a soma:
14n ( sumk=1^n (-17) + sumk=1^n 42kn ) = 14n ( -17n + 42n cdot n(n+1)2 )
Aqui, usamos a fórmula .

Passo 7

Simplificando:
14n ( -17n + 42n cdot n(n+1)2 ) = 14 ( -17 + 42(n+1)2n )
= 14 ( -17 + 21 + 21n ) = 14 (4 + 21n) = 56 + 294n

Passo 8

Agora, vamos tirar o limite quando limn to infty (56 + 294n) = 56 + 0 = 56 tende ao infinito:

Resposta

A integral definida é igual a 56.

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