Calcular a integral definida
de 3 maneiras:
(i) pela definição de integral definida, usando que
, calculando o limite da Soma de Riemann. Justifique (3 pontos)
LEMBRETE:
(i) pela definição de integral definida, usando que
LEMBRETE:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida
. Estamos indo usar a definição de integral definida através das Somatórios de Riemann. Isso significa que vamos dividir a área sob a curva em retângulos, calcular a soma dessas áreas e ver o que acontece quando o número de retângulos cresce infinitamente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Somatório de Riemann e saber como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração:
e
. A função que vamos integrar é
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo,
, é dado por:
Passo 4
Os pontos de amostragem
são determinados por:
para
.
Passo 5
A soma de Riemann usando os pontos direitos é:
Simplificando a expressão dentro da soma:
Então, a soma fica:
Passo 6
Vamos separar a soma:
Aqui, usamos a fórmula
.
Passo 7
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos tirar o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral definida
é igual a 56.