Calcular a integral definida integral-6^8(1+3 x) d x de 3 maneiras:
(iii) de forma direta, usando o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) (1 ponto)

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral-6^8(1+3x) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Para resolver isso, precisamos encontrar a antiderivada da função 1 + 3x e, em seguida, avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são -6 e 8.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função 1 + 3x. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada nos dá a original.
Para 1, a antiderivada é x, porque a derivada de x em relação a x é 1.
Para 3x, a antiderivada é 32x^2, já que a derivada de 32x^2 em relação a x é 3x.
Então, a antiderivada de 1 + 3x é:
x + 32x^2

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a integral definida de uma função é igual à diferença dos valores da sua antiderivada avaliados nos limites superior e inferior.
Ou seja:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x).

Passo 4

Vamos substituir os limites de integração na antiderivada encontrada:
Para x = 8:
F(8) = 8 + 32(8)^2 = 8 + 32 times 64 = 8 + 96 = 104
Para x = -6:
F(-6) = -6 + 32(-6)^2 = -6 + 32 times 36 = -6 + 54 = 48

Resposta

A integral definida integral-6^8(1+3x) , dx é igual a 56.

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