Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o Wronskiano das funções exponenciais é igual a vezes uma matriz específica chamada determinante de Vandermonde. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas e determinantes. Então, vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e entender um pouco sobre determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para funções , o Wronskiano é definido como o determinante de uma matriz onde cada linha é composta pelas derivadas das funções até a ordem . Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às nossas funções exponenciais . Vamos calcular as derivadas dessas funções:
A primeira derivada de é .
A segunda derivada é .
E assim por diante, até a -ésima derivada, que é .
Então, a matriz do Wronskiano fica assim:
Passo 4
Perceba que em cada coluna da matriz, o fator aparece em todas as linhas. Podemos fatorar de cada coluna:
Agora, como os são multiplicados entre si, podemos somar os expoentes:
Passo 5
Finalmente, identificamos que a matriz restante é o determinante de Vandermonde, que tem a forma:
Portanto, juntando tudo, temos que o Wronskiano das funções é igual a vezes o determinante de Vandermonde.