(a) Mostre que
W[e^a1 x, ldots, e^an x]=e^(a1+ldots+an) x cdot|cccc 1 & 1 & cdots & 1 a1 & a2 & cdots & an vdots & vdots & ddots & vdots a1^n-1 & a2^n-1 & cdots & an^n-1 |

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o Wronskiano das funções exponenciais é igual a vezes uma matriz específica chamada determinante de Vandermonde. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas e determinantes. Então, vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e entender um pouco sobre determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para W[f1, ldots, fn] = f1 & f2 & cdots & fn f1' & f2' & cdots & fn' vdots & vdots & ddots & vdots f1^(n-1) & f2^(n-1) & cdots & fn^(n-1) funções , o Wronskiano é definido como o determinante de uma matriz onde cada linha é composta pelas derivadas das funções até a ordem . Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às nossas funções exponenciais W[e^a1 x, ldots, e^an x] = e^a1 x & e^a2 x & cdots & e^an x a1 e^a1 x & a2 e^a2 x & cdots & an e^an x vdots & vdots & ddots & vdots a1^n-1 e^a1 x & a2^n-1 e^a2 x & cdots & an^n-1 e^an x . Vamos calcular as derivadas dessas funções:
  • A primeira derivada de é .
  • A segunda derivada é .
  • E assim por diante, até a -ésima derivada, que é .
Então, a matriz do Wronskiano fica assim:

Passo 4

Perceba que em cada coluna da matriz, o fator W = e^a1 x & e^a2 x & cdots & e^an x a1 e^a1 x & a2 e^a2 x & cdots & an e^an x vdots & vdots & ddots & vdots a1^n-1 e^a1 x & a2^n-1 e^a2 x & cdots & an^n-1 e^an x = ( e^a1 x cdot e^a2 x cdots e^an x ) 1 & 1 & cdots & 1 a1 & a2 & cdots & an vdots & vdots & ddots & vdots a1^n-1 & a2^n-1 & cdots & an^n-1 aparece em todas as linhas. Podemos fatorar e^a1 x cdot e^a2 x cdots e^an x = e^(a1 + a2 + ldots + an)x de cada coluna:
Agora, como os são multiplicados entre si, podemos somar os expoentes:

Passo 5

Finalmente, identificamos que a matriz restante é o determinante de Vandermonde, que tem a forma:
1 & 1 & cdots & 1 a1 & a2 & cdots & an vdots & vdots & ddots & vdots a1^n-1 & a2^n-1 & cdots & an^n-1
Portanto, juntando tudo, temos que o Wronskiano das funções é igual a vezes o determinante de Vandermonde.

Resposta

W[e^a1 x, ldots, e^an x]=e^(a1+ldots+an) x cdot|cccc 1 & 1 & cdots & 1 a1 & a2 & cdots & an vdots & vdots & ddots & vdots a1^n-1 & a2^n-1 & cdots & an^n-1 |

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