(a) Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o Wronskiano das funções exponenciais é igual a vezes uma matriz específica chamada determinante de Vandermonde. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas e determinantes. Então, vamos precisar saber como calcular o Wronskiano e entender um pouco sobre determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para funções , o Wronskiano é definido como o determinante de uma matriz onde cada linha é composta pelas derivadas das funções até a ordem . Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às nossas funções exponenciais . Vamos calcular as derivadas dessas funções:
  • A primeira derivada de é .
  • A segunda derivada é .
  • E assim por diante, até a -ésima derivada, que é .
Então, a matriz do Wronskiano fica assim:

Passo 4

Perceba que em cada coluna da matriz, o fator aparece em todas as linhas. Podemos fatorar de cada coluna:
Agora, como os são multiplicados entre si, podemos somar os expoentes:

Passo 5

Finalmente, identificamos que a matriz restante é o determinante de Vandermonde, que tem a forma:
Portanto, juntando tudo, temos que o Wronskiano das funções é igual a vezes o determinante de Vandermonde.

Resposta

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Calcule , sendo
e) e é o paralelogramo de , e (2,0).
Calcule o volume do conjunto dado:
f)
Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(ii) utilizando o significado geométrico da integral definida e seus conhecimentos de áreas de figuras planas para calcular esta integral dada. ( 1 ponto)
Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(i) pela definição de integral definida, usando que éá, calculando o limite da Soma de Riemann. Justifique (3 pontos)
LEMBRETE: