Calcular a integral definida integral-6^8(1+3 x) d x de 3 maneiras:
(ii) utilizando o significado geométrico da integral definida e seus conhecimentos de áreas de figuras planas para calcular esta integral dada. ( 1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida usando o significado geométrico da integral e conhecimentos sobre áreas de figuras planas. Basicamente, vamos encontrar a área sob a curva da função entre os pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função linear, ou seja, é representada por uma linha reta no gráfico. Para visualizar melhor, vamos identificar onde essa linha cruza o eixo (onde ).

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção com o eixo 1 + 3x = 0 3x = -1 x = -13 , resolvemos :
Então, a reta cruza o eixo no ponto .

Passo 4

Agora, dividimos a área sob a curva em duas partes:
  1. De até , onde a função está abaixo do eixo (área negativa).
  2. De até , onde a função está acima do eixo (área positiva).

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente. A área de um triângulo é dada por:
Área = 12 times base times aÁ
Como a função é linear, as áreas formadas são triângulos.

Passo 6

Primeira área (negativa):
  • Base: De Base = -13 - (-6) = 173 até f(-6) = 1 + 3(-6) = 1 - 18 = -17 .
Área1 = 12 times 173 times (-17) = -2896
  • Altura: Valor de em .
  • Área:
Á

Passo 7

Segunda área (positiva):
  • Base: De Base = 8 - (-13) = 253 até f(8) = 1 + 3(8) = 1 + 24 = 25 .
Área2 = 12 times 253 times 25 = 6256
  • Altura: Valor de em .
  • Área:
Á

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas para obter o valor total da integral:
Integral = Área1 + Área2 = -2896 + 6256 = 3366 = 56 ÁÁ

Resposta

A integral definida é igual a 56.

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