Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(ii) utilizando o significado geométrico da integral definida e seus conhecimentos de áreas de figuras planas para calcular esta integral dada. ( 1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida usando o significado geométrico da integral e conhecimentos sobre áreas de figuras planas. Basicamente, vamos encontrar a área sob a curva da função entre os pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função linear, ou seja, é representada por uma linha reta no gráfico. Para visualizar melhor, vamos identificar onde essa linha cruza o eixo (onde ).

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção com o eixo , resolvemos :
Então, a reta cruza o eixo no ponto .

Passo 4

Agora, dividimos a área sob a curva em duas partes:
  1. De até , onde a função está abaixo do eixo (área negativa).
  2. De até , onde a função está acima do eixo (área positiva).

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente. A área de um triângulo é dada por:
Á
Como a função é linear, as áreas formadas são triângulos.

Passo 6

Primeira área (negativa):
  • Base: De até .
  • Altura: Valor de em .
  • Área:
Á

Passo 7

Segunda área (positiva):
  • Base: De até .
  • Altura: Valor de em .
  • Área:
Á

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas para obter o valor total da integral:
ÁÁ

Resposta

A integral definida é igual a 56.

Exercícios relacionados

(a) Mostre que
Calcule , sendo
e) e é o paralelogramo de , e (2,0).
Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(i) pela definição de integral definida, usando que éá, calculando o limite da Soma de Riemann. Justifique (3 pontos)
LEMBRETE:
Calcular a integral definida de 3 maneiras:
(iii) de forma direta, usando o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) (1 ponto)