Encontre uma representação em Série de Potências para a função
e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício que pede para encontrar uma Série de Potências para a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Isso tudo faz parte do conteúdo de Séries de Potências – uma ferramenta super útil em cálculo para representar funções de forma infinita e analisar onde essa representação funciona bem. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a Série Geométrica e como calcular o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Série Geométrica, que é uma série do tipo
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Essa série converge quando
.
Agora, vamos reescrever a função
de uma maneira que pareça com a Série Geométrica. Podemos manipular a expressão assim:
Para a série geométrica ser aplicável, queremos que a expressão no denominador seja
. Então, reescrevendo:
Agora, fica claro que
. Assim, podemos escrever a série como:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para a série geométrica
convergir, precisamos que
. No nosso caso,
, então:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A representação em Série de Potências para a função
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.