Encontre uma representação em Série de Potências para a função f(x) = 2/(1+x) e determine o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício que pede para encontrar uma Série de Potências para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Isso tudo faz parte do conteúdo de Séries de Potências – uma ferramenta super útil em cálculo para representar funções de forma infinita e analisar onde essa representação funciona bem. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a Série Geométrica e como calcular o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Série Geométrica, que é uma série do tipo , onde é o primeiro termo e é a razão. Essa série converge quando .
Agora, vamos reescrever a função de uma maneira que pareça com a Série Geométrica. Podemos manipular a expressão assim:
Para a série geométrica ser aplicável, queremos que a expressão no denominador seja . Então, reescrevendo:
Agora, fica claro que . Assim, podemos escrever a série como:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para a série geométrica convergir, precisamos que . No nosso caso, , então:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A representação em Série de Potências para a função é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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