Encontre uma representação em Série de Potências para a função
e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício que pede para encontrar uma Série de Potências para a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Isso tudo faz parte do conteúdo de Séries de Potências – uma ferramenta super útil em cálculo para representar funções de forma infinita e analisar onde essa representação funciona bem. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a Série Geométrica e como calcular o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Série Geométrica, que é uma série do tipo
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Essa série converge quando
.
Agora, vamos reescrever a função
de uma maneira que pareça com a Série Geométrica. Podemos manipular a expressão assim:
Para a série geométrica ser aplicável, queremos que a expressão no denominador seja
. Então, reescrevendo:
Agora, fica claro que
. Assim, podemos escrever a série como:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para a série geométrica
convergir, precisamos que
. No nosso caso,
, então:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A representação em Série de Potências para a função
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.
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O Papa-léguas só observa o Coiote caindo do penhasco de 3712 pés de altura, depois de mais um de seus planos fracassados. Desprezando-se a reistência do ar, a distância, em metros,
do solo ao Coiote em queda, após
segundos é dada por
Determine a velocidade com que o Coite atinge o solo.
Calcular a integral definida
de 3 maneiras:
(iii) de forma direta, usando o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) (1 ponto)
(iii) de forma direta, usando o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.) (1 ponto)
Seja a função
,
Qual é o domínio dessa função?
Seja a função
,
Em que valores reais essa função é descontínua?