Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é definida pelo círculo
. Para resolver isso, precisamos saber como identificar a região de integração e como calcular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. A equação
representa um círculo. Para facilitar, vamos completar o quadrado no termo
.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Agora, vemos que
é um círculo de raio 1 centrado no ponto
.
Passo 4
Para calcular a integral dupla sobre esse círculo, vai ser mais fácil se mudarmos as coordenadas para centralizar o círculo na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
e
.
Passo 5
Com essa mudança, a região
fica:
Agora,
é um círculo de raio 1 centrado na origem
.
Passo 6
A função que vamos integrar,
, em termos de
e
fica:
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Observamos que a função
é uma função ímpar em relação a
e a região de integração é simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que as áreas positivas e negativas se cancelam.
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e pelos três planos coordenados.
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
.
Qual deve ser o valor de a para que a função abaixo seja contínua no
?
Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.