Calcular a integral dupla , sendo que é o círculo .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida pelo círculo . Para resolver isso, precisamos saber como identificar a região de integração e como calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . A equação representa um círculo. Para facilitar, vamos completar o quadrado no termo .

Passo 3

Completando o quadrado para :
Agora, vemos que é um círculo de raio 1 centrado no ponto .

Passo 4

Para calcular a integral dupla sobre esse círculo, vai ser mais fácil se mudarmos as coordenadas para centralizar o círculo na origem. Vamos fazer uma mudança de variável: e .

Passo 5

Com essa mudança, a região fica:
Agora, é um círculo de raio 1 centrado na origem .

Passo 6

A função que vamos integrar, , em termos de e fica:
Então, a integral dupla fica:

Passo 7

Observamos que a função é uma função ímpar em relação a e a região de integração é simétrica em relação ao eixo . Isso significa que as áreas positivas e negativas se cancelam.

Resposta

A integral dupla é igual a .

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