Qual deve ser o valor de a para que a função abaixo seja contínua no
?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta qual deve ser o valor de
para que a função
seja contínua no ponto
. Aqui, trabalharemos com o conceito de continuidade de funções envolvendo duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o limite da função quando
se aproxima de
e igualar esse limite ao valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
:
Queremos que
seja contínua no ponto
. Para isso, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Sabemos que
de qualquer número está entre -1 e 1. Portanto:
Multiplicando todos os membros da desigualdade por
, que é sempre não negativo, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite das extremidades:
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim:
Passo 5
Para que a função
seja contínua no ponto
, o limite que acabamos de calcular deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Portanto:
Resposta
O valor de
deve ser igual a 0 para que a função
seja contínua no ponto
.
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, sendo que
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.
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e pelos três planos coordenados.
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.
Resolva a equação diferencial: