Qual deve ser o valor de a para que a função abaixo seja contínua no (0,0) ?
f(x, y)= (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) a, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta qual deve ser o valor de para que a função seja contínua no ponto . Aqui, trabalharemos com o conceito de continuidade de funções envolvendo duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o limite da função quando se aproxima de e igualar esse limite ao valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y)= (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2), & se (x, y) neq (0,0) a, & se (x, y) = (0,0) :
Queremos que seja contínua no ponto . Para isso, o limite de quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) quando -1 <= cos (1x^2+y^2) <= 1 tende a - (x^2 + y^2) <= (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) <= x^2 + y^2 :
Sabemos que de qualquer número está entre -1 e 1. Portanto:
Multiplicando todos os membros da desigualdade por , que é sempre não negativo, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite das extremidades:
lim(x, y) to (0,0) - (x^2 + y^2) = 0 lim(x, y) to (0,0) x^2 + y^2 = 0
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim:
lim(x, y) to (0,0) (x^2+y^2) cos (1x^2+y^2) = 0

Passo 5

Para que a função a = 0 seja contínua no ponto , o limite que acabamos de calcular deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Portanto:

Resposta

O valor de deve ser igual a 0 para que a função seja contínua no ponto .

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