Calcular a integral dupla , sendo que é o círculo .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde é o círculo dado por . Neste exercício, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares para facilitar a integração sobre a região circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a identificação do círculo.

Passo 3

Completemos o quadrado para a variável :
Então, a desigualdade fica:
Isso descreve um círculo de raio centrado no ponto .

Passo 4

Para facilitar a integração sobre esta região circular, vamos fazer uma mudança para coordenadas polares. Primeiro, ajustamos o sistema de coordenadas para que o centro do círculo seja a origem. Vamos definir:
Assim, a equação do círculo fica:
Agora, podemos usar coordenadas polares onde:

Passo 5

Expressamos a integral na nova coordenada:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Expandindo a expressão dentro da integral:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 7

Calculamos as integrais internas:
Substituindo de volta:

Passo 8

Calculamos as integrais externas:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral dupla vale .

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