Calcular a integral dupla integral duplaB 9 y+9 d x d y, sendo que B é o círculo x^2+y^2-2 y <= 0.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaB 9 y + 9 , dx , dy, onde B é o círculo dado por x^2 + y^2 - 2 y <= 0. Neste exercício, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares para facilitar a integração sobre a região circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A equação x^2 + y^2 - 2 y <= 0 pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a identificação do círculo.

Passo 3

Completemos o quadrado para a variável y:
x^2 + y^2 - 2y = x^2 + (y^2 - 2y) = x^2 + (y - 1)^2 - 1 <= 0
Então, a desigualdade fica:
x^2 + (y - 1)^2 <= 1
Isso descreve um círculo de raio 1 centrado no ponto (0, 1).

Passo 4

Para facilitar a integração sobre esta região circular, vamos fazer uma mudança para coordenadas polares. Primeiro, ajustamos o sistema de coordenadas para que o centro do círculo seja a origem. Vamos definir:
y' = y - 1
Assim, a equação do círculo fica:
x^2 + y'^2 <= 1
Agora, podemos usar coordenadas polares (r, theta) onde:
x = r cos theta y' = r sin theta Rightarrow y = r sin theta + 1

Passo 5

Expressamos a integral na nova coordenada:
integral duplaB 9y + 9 , dx , dy = integral duplar <= 1 9(r sin theta + 1) + 9 , r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
9(r sin theta + 1) + 9 = 9r sin theta + 18
Portanto, a integral se torna:
integral0^2pi integral0^1 (9r sin theta + 18) , r , dr , dtheta

Passo 6

Expandindo a expressão dentro da integral:
integral0^2pi integral0^1 9r^2 sin theta + 18r , dr , dtheta
Podemos separar a integral em duas partes:
9 integral0^2pi sin theta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta + 18 integral0^2pi ( integral0^1 r , dr ) dtheta

Passo 7

Calculamos as integrais internas:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
integral0^1 r , dr = [ r^22 ]0^1 = 12
Substituindo de volta:
9 cdot 13 integral0^2pi sin theta , dtheta + 18 cdot 12 integral0^2pi dtheta = 3 integral0^2pi sin theta , dtheta + 9 integral0^2pi dtheta

Passo 8

Calculamos as integrais externas:
integral0^2pi sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^2pi = -cos(2pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0
integral0^2pi dtheta = 2pi
Substituindo de volta:
3 cdot 0 + 9 cdot 2pi = 0 + 18pi = 18pi

Resposta

A integral dupla integral duplaB 9 y + 9 , dx , dy vale 18pi.

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