Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde
é o círculo dado por
. Neste exercício, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares para facilitar a integração sobre a região circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a identificação do círculo.
Passo 3
Completemos o quadrado para a variável
:
Então, a desigualdade fica:
Isso descreve um círculo de raio
centrado no ponto
.
Passo 4
Para facilitar a integração sobre esta região circular, vamos fazer uma mudança para coordenadas polares. Primeiro, ajustamos o sistema de coordenadas para que o centro do círculo seja a origem. Vamos definir:
Assim, a equação do círculo fica:
Agora, podemos usar coordenadas polares
onde:
Passo 5
Expressamos a integral na nova coordenada:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Expandindo a expressão dentro da integral:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 7
Calculamos as integrais internas:
Substituindo de volta:
Passo 8
Calculamos as integrais externas:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
Qual deve ser o valor de a para que a função abaixo seja contínua no
?
Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.
Resolva a equação diferencial:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada: