Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies e pelos três planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular o volume de um sólido usando integral dupla. O sólido é delimitado pelas superfícies , e pelos três planos coordenados (os planos , e ). Para isso, vamos precisar usar os conceitos de integrais duplas e coordenadas polares, já que a região tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. A equação representa um círculo no plano com raio . Como vamos usar coordenadas polares, onde e , isso facilita calcular a área dessa região circular.

Passo 3

A função que descreve o topo do sólido é . Em coordenadas polares, isso fica . Nossa integral dupla para encontrar o volume será a integral dessa função sobre a região circular descrita por de 0 até e de 0 a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares. Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcular a integral dupla , sendo que é o círculo .
Qual deve ser o valor de a para que a função abaixo seja contínua no ?