Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e pelos três planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular o volume de um sólido usando integral dupla. O sólido é delimitado pelas superfícies
,
e pelos três planos coordenados (os planos
,
e
). Para isso, vamos precisar usar os conceitos de integrais duplas e coordenadas polares, já que a região tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. A equação
representa um círculo no plano
com raio
. Como vamos usar coordenadas polares, onde
e
, isso facilita calcular a área dessa região circular.
Passo 3
A função que descreve o topo do sólido é
. Em coordenadas polares, isso fica
. Nossa integral dupla para encontrar o volume será a integral dessa função sobre a região circular descrita por
de 0 até
e
de 0 a
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares. Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
.
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido abaixo do plano
e delimitado pelo parabolóide
.
Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.
Qual deve ser o valor de a para que a função abaixo seja contínua no
?