Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o volume de um sólido. Esse sólido é delimitado por três superfícies:
  1. Um cilindro circular de equação .
  2. Uma superfície parabólica definida por .
  3. O plano .
Vamos usar integrais duplas para encontrar esse volume. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo aqui. O cilindro é uma superfície vertical que se estende indefinidamente no eixo . A superfície é uma parábola invertida que toca o plano quando , ou seja, . Porém, como nosso cilindro tem , o sólido está limitado por essa circunferência menor.

Passo 3

Como vamos calcular o volume usando integrais duplas, precisamos escolher as coordenadas mais convenientes. Nesse caso, como estamos lidando com círculos, é melhor usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e a área de integração fica mais simples.

Passo 4

O volume pode ser calculado pela integral dupla da função que representa a altura do sólido, que é , sobre a região que, no nosso caso, é o círculo .
Então, a fórmula fica:
Aqui, é o fator que vem da transformação para coordenadas polares (jacobiano).

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Para , ele vai de 0 a 1 (porque o raio do cilindro é 1). Para , como estamos cobrindo todo o círculo, vai de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Multiplicando dentro da integral:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcular a integral dupla , sendo que é o círculo .