Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o volume de um sólido. Esse sólido é delimitado por três superfícies:
- Um cilindro circular de equação
. - Uma superfície parabólica definida por
. - O plano
.
Vamos usar integrais duplas para encontrar esse volume. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo aqui. O cilindro
é uma superfície vertical que se estende indefinidamente no eixo
. A superfície
é uma parábola invertida que toca o plano
quando
, ou seja,
. Porém, como nosso cilindro tem
, o sólido está limitado por essa circunferência menor.
Passo 3
Como vamos calcular o volume usando integrais duplas, precisamos escolher as coordenadas mais convenientes. Nesse caso, como estamos lidando com círculos, é melhor usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e a área de integração fica mais simples.
Passo 4
O volume
pode ser calculado pela integral dupla da função que representa a altura do sólido, que é
, sobre a região
que, no nosso caso, é o círculo
.
Então, a fórmula fica:
Aqui,
é o fator que vem da transformação para coordenadas polares (jacobiano).
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Para
, ele vai de 0 a 1 (porque o raio do cilindro é 1). Para
, como estamos cobrindo todo o círculo, vai de 0 a
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Multiplicando dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido abaixo do plano
e delimitado pelo parabolóide
.
Usando integral dupla, calcular a área da elípse
dada na Figura 1 .
Figura 1: Elípse
Figura 1: Elípse
Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e pelos três planos coordenados.
Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.