Resolva a equação diferencial:
d y/d t + 1/2 y = 1/2 e^(t / 3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a equação diferencial de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que faz parte do estudo das equações diferenciais lineares.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da equação. A equação está no formato padrão:
Onde:

Passo 3

Calculamos o fator integrante ( ) que vai multiplicar toda a equação. Ele é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
Realizando a integração:

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando os expoentes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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