Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
integral duplaD 1x^2+y^2 d x d y
D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2, 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado nos pede para integrar a função sobre a região que está no primeiro quadrante, entre os círculos e , onde . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
E o elemento de área dx , dy = r , dr , dtheta vira:
Isso facilita bastante a nossa integral, especialmente porque a região é definida por círculos.

Passo 3

Agora, vamos descrever a região 0 <= theta <= pi2 e a <= r <= b em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . Além disso, a distância do centro até qualquer ponto na região varia entre e . Então, temos:

Passo 4

Com essas informações, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD 1x^2+y^2 , dx , dy = integral0^pi2 integrala^b 1r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
1r^2 cdot r = 1r
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integrala^b 1r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integrala^b 1r , dr = ln r g|a^b = ln b - ln a primeiro:
Isso porque a integral de é o logaritmo natural de .

Passo 7

Com o resultado da integral em integral0^pi2 (ln b - ln a) , dtheta = (ln b - ln a) cdot theta g|0^pi2 = (ln b - ln a) cdot pi2 , agora vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral se simplifica a essa constante multiplicada pelo intervalo de .

Resposta

A integral dupla é igual a .

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