Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
D é a região do primeiro quadrante entre os círculos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado nos pede para integrar a função sobre a região que está no primeiro quadrante, entre os círculos e , onde . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área vira:
Isso facilita bastante a nossa integral, especialmente porque a região é definida por círculos.
Passo 3
Agora, vamos descrever a região em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . Além disso, a distância do centro até qualquer ponto na região varia entre e . Então, temos:
Passo 4
Com essas informações, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos por e por .
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a primeiro:
Isso porque a integral de é o logaritmo natural de .
Passo 7
Com o resultado da integral em , agora vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral se simplifica a essa constante multiplicada pelo intervalo de .