Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares

D é a região do primeiro quadrante entre os círculos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado nos pede para integrar a função sobre a região que está no primeiro quadrante, entre os círculos e , onde . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área vira:
Isso facilita bastante a nossa integral, especialmente porque a região é definida por círculos.

Passo 3

Agora, vamos descrever a região em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . Além disso, a distância do centro até qualquer ponto na região varia entre e . Então, temos:

Passo 4

Com essas informações, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a primeiro:
Isso porque a integral de é o logaritmo natural de .

Passo 7

Com o resultado da integral em , agora vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral se simplifica a essa constante multiplicada pelo intervalo de .

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Onde D é , R é um numero real positivo.
(a) Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga está sobre o eixo dos , de até . Mostrar que a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
em que é o ângulo subtendido pelo segmento no ponto do campo. (b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre e , a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
onde .
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