Integrais triplas em coordenadas cilíndricas (esboçar o conjunto T)
Calcular 0 volume da esfera sólida
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume de uma esfera sólida definida pela equação usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar conhecer as coordenadas cilíndricas e como transformar a equação da esfera para essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por três parâmetros: (distância do ponto à origem no plano ), (ângulo em relação ao eixo ), e (a mesma coordenada das coordenadas cartesianas). As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
Passo 3
Agora, vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas. Substituindo e :
Portanto, a equação da esfera fica:
Passo 4
Para calcular o volume, precisamos determinar os limites de integração para , e :
varia de a para cobrir toda a circunferência.
Para cada , varia de até o raio máximo, que é .
Para cada , varia de até .
Passo 5
Alem disso, ao usar coordenadas cilíndricas, devemos incluir o fator de Jacobiano na integral. Assim, a expressão para o volume é:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a :
Assim, o volume fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em . Podemos usar a substituição , então . Substituindo: