Integrais triplas em coordenadas cilíndricas (esboçar o conjunto T)
Calcular 0 volume da esfera sólida x^2+y^2+z^2 <= a^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume de uma esfera sólida definida pela equação usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar conhecer as coordenadas cilíndricas e como transformar a equação da esfera para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por três parâmetros: x = r cos theta (distância do ponto à origem no plano y = r sin theta ), z = z (ângulo em relação ao eixo ), e (a mesma coordenada das coordenadas cartesianas). As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:

Passo 3

Agora, vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas. Substituindo x^2 + y^2 + z^2 = (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 + z^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + z^2 = r^2 + z^2 e r^2 + z^2 <= a^2 :
Portanto, a equação da esfera fica:

Passo 4

Para calcular o volume, precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • Para cada , varia de até o raio máximo, que é .
  • Para cada , varia de até .

Passo 5

Alem disso, ao usar coordenadas cilíndricas, devemos incluir o fator de Jacobiano V = integral0^2pi integral0^a integral-raiza^2 - r^2^raiza^2 - r^2 r , dz , dr , dtheta na integral. Assim, a expressão para o volume é:

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a integral-raiza^2 - r^2^raiza^2 - r^2 dz = 2raiza^2 - r^2 :
V = integral0^2pi integral0^a 2r raiza^2 - r^2 , dr , dtheta
Assim, o volume fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em V = integral0^2pi integrala^2^0 raizu ( -du2 ) dtheta = integral0^2pi integral0^a^2 raizu cdot du2 , dtheta . Podemos usar a substituição integral0^a^2 raizu cdot du2 = 12 cdot 23 u^3/2 g|0^a^2 = 13 ( a^3 ) , então V = integral0^2pi a^33 , dtheta = a^33 cdot 2pi = 2pi a^33 . Substituindo:
Integrando em :
Portanto:

Resposta

O volume da esfera sólida é .

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