Integrais triplas em coordenadas cilíndricas (esboçar o conjunto T)
Calcular 0 volume da esfera sólida

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o volume de uma esfera sólida definida pela equação usando integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar conhecer as coordenadas cilíndricas e como transformar a equação da esfera para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por três parâmetros: (distância do ponto à origem no plano ), (ângulo em relação ao eixo ), e (a mesma coordenada das coordenadas cartesianas). As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:

Passo 3

Agora, vamos converter a equação da esfera para coordenadas cilíndricas. Substituindo e :
Portanto, a equação da esfera fica:

Passo 4

Para calcular o volume, precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • Para cada , varia de até o raio máximo, que é .
  • Para cada , varia de até .

Passo 5

Alem disso, ao usar coordenadas cilíndricas, devemos incluir o fator de Jacobiano na integral. Assim, a expressão para o volume é:

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a :
Assim, o volume fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em . Podemos usar a substituição , então . Substituindo:
Integrando em :
Portanto:

Resposta

O volume da esfera sólida é .

Exercícios relacionados

(a) Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga está sobre o eixo dos , de até . Mostrar que a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
em que é o ângulo subtendido pelo segmento no ponto do campo. (b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre e , a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
onde .
Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares

D é a região do primeiro quadrante entre os círculos e .
Integrais triplas em coordenadas esféricas
Calcular o volume da esfera sólida
Um disco de espessura desprezível e de raio é vazado no seu centro por um orifício e acha-se uniformemente eletrizado com . Calcular o campo no ponto P do eixo da distribuição e a do seu plano.