Integrais triplas em coordenadas cilíndricas (esboçar o conjunto T)
Converta integral triplaT(x^2+y^2) d x d y d z onde T esta delimitado pelas superfícies z=12(x^2+y^2) e z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla . O conjunto está delimitado pelas superfícies e . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que essas superfícies têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como mudar para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas x = r cos theta, y = r sin theta, z = z estão relacionadas com as cartesianas por:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 3

A função que vamos integrar é x^2 + y^2 = r^2 . Em coordenadas cilíndricas:
integral triplaT r^2 cdot r ,dr,dtheta,dz = integral triplaT r^3 ,dr,dtheta,dz
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. A superfície 12r^2 <= z <= 2 é a base inferior e é o teto. Para variar entre essas duas superfícies:
Para encontrar os limites de , resolvemos . E varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral com os limites determinados:
integral0^2pi integral0^2 integral12r^2^2 r^3 ,dz,dr,dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral12r^2^2 r^3 ,dz = r^3 [ z ]12r^2^2 = r^3 (2 - 12r^2) = 2r^3 - 12r^5 primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (2r^3 - 12r^5) ,dr,dtheta
Vamos integrar agora em relação a .

Passo 8

Integrando em relação a integral0^2 (2r^3 - 12r^5) dr = 2 cdot r^44 - 12 cdot r^66 g|0^2 = r^42 - r^612 g|0^2 :
(2)^42 - (2)^612 = 162 - 6412 = 8 - 163 = 243 - 163 = 83
Substituindo :

Passo 9

Agora, a integral fica:
integral0^2pi 83 ,dtheta = 83 cdot theta g|0^2pi = 83 cdot 2pi = 16pi3

Resposta

O valor da integral tripla é .

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