(a) Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga lambda está sobre o eixo dos x, de x=0 até x=a. Mostrar que a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos y é dada por
Ey=k lambday sen theta1=k lambday araizy^2+a^2
em que theta1 é o ângulo subtendido pelo segmento no ponto do campo. (b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre x=-b e x=a, a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos y é dada por
Ey=k lambday(sen theta1+sen theta2)
onde sen theta2=b / raizy^2+b^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um segmento de reta carregado uniformemente com densidade linear de carga lambda, que está posicionado ao longo do eixo dos x. Precisamos encontrar a componente y do campo elétrico em um ponto sobre o eixo dos y. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições lineares de carga e integrar as contribuições de cada parte do segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração. Imagine o eixo dos x com a carga distribuída de x=0 até x=a. O ponto onde vamos calcular o campo elétrico está localizado no eixo dos y, a uma distância y da origem. Como a carga está distribuída ao longo do x, cada pedacinho de carga vai contribuir para o campo elétrico no ponto escolhido.

Passo 3

Um elemento infinitesimal de carga, dq, em uma posição x no eixo dos x, gera um campo elétrico dE no ponto (0, y). Pela Lei de Coulomb, temos:
dE = k , dqr^2 r
Aqui, k é a constante eletrostática, r é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 4

Vamos expressar dq em termos da densidade linear de carga lambda. Como a carga está distribuída ao longo do eixo dos x, temos:
dq = lambda , dx
A distância r entre o elemento de carga em x e o ponto (0, y) é dada por:
r = raizx^2 + y^2
E o ângulo theta que r faz com o eixo dos x satisfaz:
sin theta = yraizx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos focar na componente y do campo elétrico, já que a componente x vai se cancelar devido à simetria da distribuição (para cada elemento em x, existe outro em -x que cancela a componente x). Assim, temos:
dEy = dE sin theta = k lambda , dxx^2 + y^2 cdot yraizx^2 + y^2 = k lambda y , dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total Ey, precisamos integrar dEy de x=0 até x=a:
Ey = integral0^a k lambda y , dx(x^2 + y^2)^3/2
Fazendo a integral, obtemos:
Ey = k lambday cdot araizy^2 + a^2 = k lambday sin theta1
Onde theta1 é o ângulo que o segmento a subtende no ponto do campo.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A diferença é que o segmento de reta carregada agora está entre x=-b e x=a. Precisamos mostrar que a componente y do campo elétrico é:
Ey=k lambday(sen theta1+sen theta2)
Onde sen theta2=b / raizy^2+b^2.

Passo 8

A configuração agora inclui cargas tanto em x= -b quanto em x=a. Isso significa que teremos contribuições para o campo elétrico de ambos os lados do eixo dos x. Vamos seguir um raciocínio semelhante ao da parte (a), mas agora considerando ambos os limites da carga.

Passo 9

Usando a mesma abordagem da parte (a), para cada elemento infinitesimal de carga de x=-b a x=a, a componente y do campo elétrico é:
dEy = k lambda y , dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 10

Integrando de x=-b a x=a, obtemos:
Ey = integral-b^a k lambda y , dx(x^2 + y^2)^3/2
Resolvendo essa integral, encontramos:
Ey = k lambday ( araiza^2 + y^2 + braizb^2 + y^2 ) = k lambday ( sen theta1 + sen theta2 )

Resposta

Quando o segmento de reta está entre x=-b e x=a, a componente y do campo elétrico no ponto sobre o eixo dos y é:
Ey=k lambday(sen theta1+sen theta2)
Onde sen theta2=b / raizy^2+b^2.

Exercícios relacionados