(a) Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga está sobre o eixo dos , de até . Mostrar que a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
em que é o ângulo subtendido pelo segmento no ponto do campo. (b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre e , a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um segmento de reta carregado uniformemente com densidade linear de carga , que está posicionado ao longo do eixo dos . Precisamos encontrar a componente do campo elétrico em um ponto sobre o eixo dos . Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições lineares de carga e integrar as contribuições de cada parte do segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração. Imagine o eixo dos com a carga distribuída de até . O ponto onde vamos calcular o campo elétrico está localizado no eixo dos , a uma distância da origem. Como a carga está distribuída ao longo do , cada pedacinho de carga vai contribuir para o campo elétrico no ponto escolhido.

Passo 3

Um elemento infinitesimal de carga, , em uma posição no eixo dos , gera um campo elétrico no ponto . Pela Lei de Coulomb, temos:
Aqui, é a constante eletrostática, é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Vamos expressar em termos da densidade linear de carga . Como a carga está distribuída ao longo do eixo dos , temos:
A distância entre o elemento de carga em e o ponto é dada por:
E o ângulo que faz com o eixo dos satisfaz:

Passo 5

Agora, vamos focar na componente do campo elétrico, já que a componente vai se cancelar devido à simetria da distribuição (para cada elemento em , existe outro em que cancela a componente ). Assim, temos:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total , precisamos integrar de até :
Fazendo a integral, obtemos:
Onde é o ângulo que o segmento subtende no ponto do campo.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A diferença é que o segmento de reta carregada agora está entre e . Precisamos mostrar que a componente do campo elétrico é:
Onde .

Passo 8

A configuração agora inclui cargas tanto em quanto em . Isso significa que teremos contribuições para o campo elétrico de ambos os lados do eixo dos . Vamos seguir um raciocínio semelhante ao da parte (a), mas agora considerando ambos os limites da carga.

Passo 9

Usando a mesma abordagem da parte (a), para cada elemento infinitesimal de carga de a , a componente do campo elétrico é:

Passo 10

Integrando de a , obtemos:
Resolvendo essa integral, encontramos:

Resposta

Quando o segmento de reta está entre e , a componente do campo elétrico no ponto sobre o eixo dos é:
Onde .

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