(a) Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga
está sobre o eixo dos
, de
até
. Mostrar que a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos
é dada por
em que
é o ângulo subtendido pelo segmento no ponto do campo. (b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre
e
, a componente y do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos
é dada por
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um segmento de reta carregado uniformemente com densidade linear de carga
, que está posicionado ao longo do eixo dos
. Precisamos encontrar a componente
do campo elétrico em um ponto sobre o eixo dos
. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições lineares de carga e integrar as contribuições de cada parte do segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a configuração. Imagine o eixo dos
com a carga distribuída de
até
. O ponto onde vamos calcular o campo elétrico está localizado no eixo dos
, a uma distância
da origem. Como a carga está distribuída ao longo do
, cada pedacinho de carga vai contribuir para o campo elétrico no ponto escolhido.
Passo 3
Um elemento infinitesimal de carga,
, em uma posição
no eixo dos
, gera um campo elétrico
no ponto
. Pela Lei de Coulomb, temos:
Aqui,
é a constante eletrostática,
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Vamos expressar
em termos da densidade linear de carga
. Como a carga está distribuída ao longo do eixo dos
, temos:
A distância
entre o elemento de carga em
e o ponto
é dada por:
E o ângulo
que
faz com o eixo dos
satisfaz:
Passo 5
Agora, vamos focar na componente
do campo elétrico, já que a componente
vai se cancelar devido à simetria da distribuição (para cada elemento em
, existe outro em
que cancela a componente
). Assim, temos:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
, precisamos integrar
de
até
:
Fazendo a integral, obtemos:
Onde
é o ângulo que o segmento
subtende no ponto do campo.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. A diferença é que o segmento de reta carregada agora está entre
e
. Precisamos mostrar que a componente
do campo elétrico é:
Onde
.
Passo 8
A configuração agora inclui cargas tanto em
quanto em
. Isso significa que teremos contribuições para o campo elétrico de ambos os lados do eixo dos
. Vamos seguir um raciocínio semelhante ao da parte (a), mas agora considerando ambos os limites da carga.
Passo 9
Usando a mesma abordagem da parte (a), para cada elemento infinitesimal de carga de
a
, a componente
do campo elétrico é:
Passo 10
Integrando de
a
, obtemos:
Resolvendo essa integral, encontramos:
Resposta
Quando o segmento de reta está entre
e
, a componente
do campo elétrico no ponto sobre o eixo dos
é:
Onde
.
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