Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
Onde D é
, R é um numero real positivo.
Onde D é
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular, como é o caso aqui. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar as fórmulas de integração nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a região
para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
Substituindo na equação da região:
Simplificando:
Isso significa que para cada ângulo
, o raio
vai de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para o ângulo
. Como
deve ser positivo e
é positivo,
também deve ser positivo. Isso ocorre quando:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Vamos converter a função integranda para coordenadas polares. A expressão
se torna:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
.
Passo 5
Agora, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral se transforma em:
Passo 7
Substituindo de volta na integral principal, temos:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, mas ela representa a solução final em termos de uma integral que pode ser avaliada numericamente se necessário.
Resposta
A integral dupla avaliada usando coordenadas polares é:
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Calcule integral dupla
, onde
é delimitada por
e
.
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Converta onde
esta delimitado pelas superfícies
e
Converta
Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
D é a região do primeiro quadrante entre os círculos e
.
D é a região do primeiro quadrante entre os círculos