Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares

Onde D é , R é um numero real positivo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é definida por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular, como é o caso aqui. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar as fórmulas de integração nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a região para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
Substituindo na equação da região:
Simplificando:
Isso significa que para cada ângulo , o raio vai de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para o ângulo . Como deve ser positivo e é positivo, também deve ser positivo. Isso ocorre quando:
Então, varia de a .

Passo 4

Vamos converter a função integranda para coordenadas polares. A expressão se torna:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral se transforma em:

Passo 7

Substituindo de volta na integral principal, temos:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, mas ela representa a solução final em termos de uma integral que pode ser avaliada numericamente se necessário.

Resposta

A integral dupla avaliada usando coordenadas polares é:

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, onde é delimitada por e .
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D é a região do primeiro quadrante entre os círculos e .