Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
integral duplaD raizp^2-x^2-y^2 d x d y
Onde D é x^2+y^2 <= R x, R é um numero real positivo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaD raizp^2-x^2-y^2 , dx , dy, onde a região D é definida por x^2 + y^2 <= R x. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular, como é o caso aqui. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar as fórmulas de integração nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a região D para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta
Substituindo na equação da região:
x^2 + y^2 = r^2 <= R x = R r costheta
Simplificando:
r <= R costheta
Isso significa que para cada ângulo theta, o raio r vai de 0 até R costheta.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para o ângulo theta. Como r deve ser positivo e R é positivo, R costheta também deve ser positivo. Isso ocorre quando:
-pi2 <= theta <= pi2
Então, theta varia de -pi/2 a pi/2.

Passo 4

Vamos converter a função integranda para coordenadas polares. A expressão raizp^2 - x^2 - y^2 se torna:
raizp^2 - r^2
Além disso, o elemento de área dx , dy em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta.

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD raizp^2-x^2-y^2 , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^R costheta raizp^2 - r^2 , r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^R costheta r raizp^2 - r^2 , dr
Fazendo a substituição u = p^2 - r^2, temos du = -2r , dr, ou seja, - 12 du = r , dr. A integral se transforma em:
-12 integralp^2^p^2 - R^2 cos^2theta raizu , du = 13 [ (p^2)^3/2 - (p^2 - R^2 cos^2theta)^3/2 ]

Passo 7

Substituindo de volta na integral principal, temos:
13 integral-pi2^pi2 ( p^3 - (p^2 - R^2 cos^2theta)^3/2 ) dtheta
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, mas ela representa a solução final em termos de uma integral que pode ser avaliada numericamente se necessário.

Resposta

A integral dupla avaliada usando coordenadas polares é:
13 integral-pi2^pi2 ( p^3 - (p^2 - R^2 cos^2theta)^3/2 ) dtheta

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