Considere um pedaço de aro com uma distribuição uniforme de cargas igual à descrita no problema anterior. Determine o campo elétrico para os pontos situados sobre o eixo perpendicular ao plano do aro, passando pelo centro da circunferência.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um pedaço de aro com carga distribuída de forma uniforme. Queremos determinar o campo elétrico gerado por esse aro em pontos que estão sobre o eixo perpendicular ao plano do aro, passando pelo centro da circunferência. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico devido a distribuições simétricas de carga e aplicar integrais para somar as contribuições de cada elemento de carga no campo total.

Passo 2

Vamos começar definindo alguns parâmetros essenciais:
  • lambda = Q2pi R : carga total distribuída no aro.
  • : raio do aro.
  • : distância do ponto onde queremos calcular o campo elétrico ao centro do aro, ao longo do eixo perpendicular.
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga linear é dada por:
Isso porque o comprimento total do aro completo é .

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico no ponto localizado a uma distância ao longo do eixo perpendicular, consideramos um elemento de carga no aro. A contribuição desse elemento de carga para o campo elétrico em está direcionada radialmente.
Devido à simetria circular do aro, as componentes horizontais do campo elétrico se cancelam, deixando apenas a componente vertical (ao longo do eixo) contribui para o campo total.

Passo 4

A contribuição do campo elétrico de um elemento de carga dE = k , dqr^2 é dada pela lei de Coulomb:
r = raizR^2 + x^2
onde:
  • é a constante de Coulomb ( ²²),
  • é a distância do elemento de carga ao ponto .
No nosso caso, é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos e :

Passo 5

A componente vertical do campo elétrico dEy = dE cdot xraizR^2 + x^2 = k , dq , x(R^2 + x^2)^3/2 devido a é:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = integral dEy = integral k , dq , x(R^2 + x^2)^3/2 , integramos E = k , x(R^2 + x^2)^3/2 integral dq ao longo de todo o aro:
Como , , são constantes, podemos tirar fora da integral:

Passo 7

A integral de integral dq = Q sobre todo o aro é simplesmente a carga total E = k , Q , x(R^2 + x^2)^3/2 :
Portanto, substituindo na equação anterior:

Resposta

O campo elétrico no ponto situado sobre o eixo perpendicular ao plano do aro é dado por:
E = k , Q , x(R^2 + x^2)^3/2

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