Considere um pedaço de aro com uma distribuição uniforme de cargas igual à descrita no problema anterior. Determine o campo elétrico para os pontos situados sobre o eixo perpendicular ao plano do aro, passando pelo centro da circunferência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um pedaço de aro com carga distribuída de forma uniforme. Queremos determinar o campo elétrico gerado por esse aro em pontos que estão sobre o eixo perpendicular ao plano do aro, passando pelo centro da circunferência. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico devido a distribuições simétricas de carga e aplicar integrais para somar as contribuições de cada elemento de carga no campo total.
Passo 2
Vamos começar definindo alguns parâmetros essenciais:
-
: carga total distribuída no aro. -
: raio do aro. -
: distância do ponto onde queremos calcular o campo elétrico ao centro do aro, ao longo do eixo perpendicular.
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga linear
é dada por:
Isso porque o comprimento total do aro completo é
.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico no ponto
localizado a uma distância
ao longo do eixo perpendicular, consideramos um elemento de carga
no aro. A contribuição desse elemento de carga para o campo elétrico em
está direcionada radialmente.
Devido à simetria circular do aro, as componentes horizontais do campo elétrico se cancelam, deixando apenas a componente vertical (ao longo do eixo) contribui para o campo total.
Passo 4
A contribuição do campo elétrico de um elemento de carga
é dada pela lei de Coulomb:
onde:
-
é a constante de Coulomb ( ), -
é a distância do elemento de carga ao ponto .
No nosso caso,
é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos
e
:
Passo 5
A componente vertical do campo elétrico
devido a
é:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
, integramos
ao longo de todo o aro:
Como
,
,
são constantes, podemos tirar fora da integral:
Passo 7
A integral de
sobre todo o aro é simplesmente a carga total
:
Portanto, substituindo na equação anterior:
Resposta
O campo elétrico no ponto situado sobre o eixo perpendicular ao plano do aro é dado por: