Cambio de ordem de integração (esboçar o domínio de integração)
Calcular a integral integral0^1 integraly^2^y y e^xx d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mudar a ordem de integração de uma integral dupla e esboçar o domínio de integração. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração funcionam e como podemos reorganizá-los para facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
integral0^1 integraly^2^y y e^xx , dx , dy
Aqui, a variável y varia de 0 a 1, e para cada y, a variável x varia de y^2 a y. Para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que x seja a primeira variável a ser integrada.

Passo 3

Vamos esboçar o domínio de integração no plano xy. Sabemos que:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada y, x varia de y^2 a y.
Isso significa que a região de integração está entre as curvas x = y^2 e x = y, para y entre 0 e 1. Ao esboçar, vemos que x = y^2 é uma parábola e x = y é uma linha reta que se cruzam em y = 0 e y = 1.

Passo 4

Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar y em termos de x. Observando as equações das curvas:
  • De x = y^2, temos y = raizx.
  • De x = y, temos y = x.
Então, para um dado x, y varia de x até raizx. Além disso, o valor de x varia de 0 a 1, já que no intervalo y in [0,1], x também está entre 0 e 1.

Passo 5

Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^1 integralx^raizx y e^xx , dy , dx
Agora, vamos resolver essa nova integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a y. A função dentro da integral é y e^xx. Como e^x e x são constantes em relação a y, podemos simplificar:
integralx^raizx y e^xx , dy = e^xx integralx^raizx y , dy
A integral de y em relação a y é y^22. Então:
e^xx [ y^22 ]x^raizx = e^xx ( (raizx)^22 - x^22 ) = e^xx ( x2 - x^22 ) = e^xx cdot x(1 - x)2 = e^x(1 - x)2

Passo 7

Agora, nossa integral ficou mais simples:
integral0^1 e^x(1 - x)2 , dx = 12 integral0^1 e^x(1 - x) , dx
Vamos resolver essa integral. Podemos separá-la em duas partes:
12 ( integral0^1 e^x , dx - integral0^1 x e^x , dx )
A primeira parte é simples:
integral e^x , dx = e^x + C
A segunda parte requer integração por partes. Vamos lá.

Passo 8

Para integrar integral x e^x , dx, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
  • u = x du = dx
  • dv = e^x , dx v = e^x
Então:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C

Passo 9

Voltando à nossa integral original:
12 ( [ e^x ]0^1 - [ x e^x - e^x ]0^1 ) = 12 ( (e^1 - e^0) - ( (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) ) )
Simplificando:
= 12 ( (e - 1) - (e - e) - (-1) ) = 12 ( (e - 1) - 0 + 1 ) = 12 (e)

Resposta

A integral vale dfrace2.

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