Cambio de ordem de integração (esboçar o domínio de integração)
Calcular a integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mudar a ordem de integração de uma integral dupla e esboçar o domínio de integração. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração funcionam e como podemos reorganizá-los para facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada , a variável varia de a . Para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que seja a primeira variável a ser integrada.

Passo 3

Vamos esboçar o domínio de integração no plano . Sabemos que:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso significa que a região de integração está entre as curvas e , para entre 0 e 1. Ao esboçar, vemos que é uma parábola e é uma linha reta que se cruzam em e .

Passo 4

Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando as equações das curvas:
  • De , temos .
  • De , temos .
Então, para um dado , varia de até . Além disso, o valor de varia de 0 a 1, já que no intervalo , também está entre 0 e 1.

Passo 5

Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Agora, vamos resolver essa nova integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a . A função dentro da integral é . Como e são constantes em relação a , podemos simplificar:
A integral de em relação a é . Então:

Passo 7

Agora, nossa integral ficou mais simples:
Vamos resolver essa integral. Podemos separá-la em duas partes:
A primeira parte é simples:
A segunda parte requer integração por partes. Vamos lá.

Passo 8

Para integrar , usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Então:

Passo 9

Voltando à nossa integral original:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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