Cambio de ordem de integração (esboçar o domínio de integração)
Calcular a integral
Calcular a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mudar a ordem de integração de uma integral dupla e esboçar o domínio de integração. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração funcionam e como podemos reorganizá-los para facilitar a resolução da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, a variável
varia de 0 a 1, e para cada
, a variável
varia de
a
. Para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que
seja a primeira variável a ser integrada.
Passo 3
Vamos esboçar o domínio de integração no plano
. Sabemos que:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a .
Isso significa que a região de integração está entre as curvas
e
, para
entre 0 e 1. Ao esboçar, vemos que
é uma parábola e
é uma linha reta que se cruzam em
e
.
Passo 4
Agora, para mudar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando as equações das curvas:
- De
, temos . - De
, temos .
Então, para um dado
,
varia de
até
. Além disso, o valor de
varia de 0 a 1, já que no intervalo
,
também está entre 0 e 1.
Passo 5
Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Agora, vamos resolver essa nova integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A função dentro da integral é
. Como
e
são constantes em relação a
, podemos simplificar:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 7
Agora, nossa integral ficou mais simples:
Vamos resolver essa integral. Podemos separá-la em duas partes:
A primeira parte é simples:
A segunda parte requer integração por partes. Vamos lá.
Passo 8
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Então:
Passo 9
Voltando à nossa integral original:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
.
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, onde
é delimitada por
e
.
Calcule integral dupla
, onde
é a região delimitada por
.
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Onde D é , R é um numero real positivo.
Onde D é
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas (esboçar o conjunto T)
Converta onde
esta delimitado pelas superfícies
e
Converta