Calcule integral dupla
integral duplaD x^2y^2 d x d y, onde D é delimitada por x=2, y=x e x y=1.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla
integral duplaD x^2y^2 , dx , dy
onde a região é delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender bem a região e determinar os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se intersectam para entender melhor a região .
  1. Interseção de e :
    • Substituindo em , temos .
    • Ponto de interseção: .
  2. Interseção de e :
    • Substituindo em , temos ou .
    • Ponto de interseção: .
  3. Interseção de e :
    • Substituindo em , temos , ou seja, (considerando apenas valores positivos).
    • Então, .
    • Ponto de interseção: .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . A região está limitada por:
  • varia de 1 a 2.
  • Para cada nesse intervalo, varia de (da hipérbole ) até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:
integralx=1^2 integraly=1x^x x^2y^2 , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral1x^x x^2y^2 , dy :
x^2 integral1x^x 1y^2 , dy
Como integral 1y^2 , dy = -1y é constante em relação a x^2 [ -1y ]1x^x = x^2 ( -1x + x ) = x^2 ( x - 1x ) = x^3 - x , podemos tirar para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 (x^3 - x) , dx
Vamos resolver essa integral:
integral x^3 , dx - integral x , dx = x^44 - x^22 + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
( 2^44 - 2^22 ) - ( 1^44 - 1^22 ) = ( 164 - 42 ) - ( 14 - 12 ) = (4 - 2) - ( 14 - 24 ) = 2 - (-14) = 2 + 14 = 94

Resposta

O valor da integral dupla é .

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