Calcule integral dupla
, onde é delimitada por e .

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla
onde a região é delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender bem a região e determinar os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se intersectam para entender melhor a região .
  1. Interseção de e :
    • Substituindo em , temos .
    • Ponto de interseção: .
  2. Interseção de e :
    • Substituindo em , temos ou .
    • Ponto de interseção: .
  3. Interseção de e :
    • Substituindo em , temos , ou seja, (considerando apenas valores positivos).
    • Então, .
    • Ponto de interseção: .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . A região está limitada por:
  • varia de 1 a 2.
  • Para cada nesse intervalo, varia de (da hipérbole ) até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tirar para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essa integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule integral dupla
, onde é a região delimitada por .
Calcule integral dupla
, onde .
Cambio de ordem de integração (esboçar o domínio de integração)
Calcular a integral
Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares

Onde D é , R é um numero real positivo.