Calcule integral dupla
, onde
é delimitada por
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
onde a região
é delimitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender bem a região
e determinar os limites de integração corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se intersectam para entender melhor a região
.
-
Interseção de
e : - Substituindo
em , temos . - Ponto de interseção:
.
- Substituindo
-
Interseção de
e : - Substituindo
em , temos ou . - Ponto de interseção:
.
- Substituindo
-
Interseção de
e : - Substituindo
em , temos , ou seja, (considerando apenas valores positivos). - Então,
. - Ponto de interseção:
.
- Substituindo
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região
. A região está limitada por:
-
varia de 1 a 2. - Para cada
nesse intervalo, varia de (da hipérbole ) até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essa integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule integral dupla
, onde
é a região delimitada por
.
Calcule integral dupla
, onde
.
Cambio de ordem de integração (esboçar o domínio de integração)
Calcular a integral
Calcular a integral
Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
Onde D é , R é um numero real positivo.
Onde D é