Calcular, por integral dupla, o volume do sólido delimitado acima pelo cilindro , abaixo pelo plano e nos lados pelos planos e .

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla. Para isso, vamos precisar entender como delimitar as regiões envolvidas e aplicar conceitos de cálculo integral. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sólido que estamos analisando. Ele é limitado:
  • Acima pelo cilindro : isso significa que, para cada ponto , a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual a . Esse é um cilindro circular direito paralelo ao eixo y.
  • Abaixo pelo plano : o plano é onde . Então, nosso sólido está acima do plano .
  • Nos lados pelos planos e : esses planos vão limitar a região em que vamos calcular o volume, determinando os limites para em termos de .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região de integração no plano . Os planos e são linhas que passam pela origem e se diferenciam pelo ângulo que formam com o eixo . Isso significa que varia de a para cada valor de .

Passo 4

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para e . Vamos primeiro encontrar a interseção do cilindro com o plano . Substituindo na equação do cilindro:
Então, varia de a . Porém, como varia de a , e para manter positivo, vamos considerar de a .

Passo 5

Agora, expressamos a altura do sólido em termos de . Como o sólido está entre e o cilindro , podemos resolver para :
Essa será a nossa função para a integral dupla.

Passo 6

Montamos a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, integramos de a e de a .

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos na integral externa:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou aplicar um método de substituição simples.

Passo 9

Vamos usar a substituição , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 10

Agora, calculamos a integral:

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

Ao calcular o volume de um sólido abaixo de um paraboloide e acima de certa região do plano , obteve-se a seguinte expressão:
Identifique a região , expresse por uma integral dupla com a ordem invertida e calcule o volume.
( Considere as funções definidas pelas tabelas:
x 1 2 3 4 5
y 3 1 -1 -3 -5
x 1 2 3 4 5
:—: :—: :—: :—: :—: :—:
y 6 3 2 1,5 1,2
(a) Decida se as tabelas representam uma função linear da forma , ou uma função quadrática da forma , ou uma função racional da forma .
( ) Calcule as assíntotas verticais e horizontais do gráfico das funções e esboce o gráfico:
(b)
Encontre uma equação para a reta tangente a curva de intersecção dos cilindros e no ponto .