Calcular, por integral dupla, o volume do sólido delimitado acima pelo cilindro , abaixo pelo plano e nos lados pelos planos e .
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla. Para isso, vamos precisar entender como delimitar as regiões envolvidas e aplicar conceitos de cálculo integral. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o sólido que estamos analisando. Ele é limitado:
Acima pelo cilindro : isso significa que, para cada ponto , a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual a . Esse é um cilindro circular direito paralelo ao eixo y.
Abaixo pelo plano : o plano é onde . Então, nosso sólido está acima do plano .
Nos lados pelos planos e : esses planos vão limitar a região em que vamos calcular o volume, determinando os limites para em termos de .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região de integração no plano . Os planos e são linhas que passam pela origem e se diferenciam pelo ângulo que formam com o eixo . Isso significa que varia de a para cada valor de .
Passo 4
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para e . Vamos primeiro encontrar a interseção do cilindro com o plano . Substituindo na equação do cilindro:
Então, varia de a . Porém, como varia de a , e para manter positivo, vamos considerar de a .
Passo 5
Agora, expressamos a altura do sólido em termos de . Como o sólido está entre e o cilindro , podemos resolver para :
Essa será a nossa função para a integral dupla.
Passo 6
Montamos a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, integramos de a e de a .
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 8
Agora, substituímos na integral externa:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou aplicar um método de substituição simples.