( 0,2 pt ) Calcule as assíntotas verticais e horizontais do gráfico das funções e esboce o gráfico:
(b) g(x)=(x^2+2 x+1)/(x^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função . Para isso, vamos usar os conceitos de assíntotas de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador da função é igual a zero, porque nesses pontos a função não está definida e o gráfico vai “se aproximar” de uma linha vertical.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Para resolver isso, percebemos que é uma diferença de quadrados:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as assíntotas verticais estão em e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus dos polinômios no numerador e no denominador.
Aqui, tanto o numerador ( ) quanto o denominador ( ) são polinômios de segundo grau (grau 2).
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes dos termos de maior grau. Os coeficientes dos são 1 no numerador e 1 no denominador.
Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

As assíntotas verticais da função são e , e a assíntota horizontal é .

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