Encontre uma equação para a reta tangente a curva de intersecção dos cilindros e no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto . Isso envolve entender como calcular a reta tangente a uma curva formada pela intersecção de duas superfícies. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradientes e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas superfícies envolvidas:
Primeiro cilindro:
Segundo cilindro:
Essas equações representam cilindros circulares com eixos diferentes. A curva de intersecção é onde esses dois cilindros se encontram.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente à curva de intersecção no ponto dado, precisamos achar a direção dessa reta. Essa direção é perpendicular aos vetores normais das superfícies nos pontos de intersecção.
Primeiro, calculamos os gradientes das funções que definem os cilindros, pois o gradiente de uma função em um ponto é um vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 4
Calculando os gradientes:
Para :
No ponto :
Para :
No ponto :
Passo 5
Agora que temos os vetores normais das duas superfícies no ponto de intersecção, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Esse vetor será a direção da reta tangente. Para isso, usamos o produto vetorial dos dois gradientes.
Calculando :
Simplificando, podemos dividir todos os componentes por 8:
Então, o vetor direção da reta tangente é .
Passo 6
Agora que temos o vetor direção, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica:
Onde:
é o ponto dado
é o vetor direção
Portanto:
Ou, em componentes:
Resposta
A equação da reta tangente à curva de intersecção dos cilindros no ponto é: