Encontre uma equação para a reta tangente a curva de intersecção dos cilindros x^2 + y^2 = 25 e y^2 + z^2 = 20 no ponto 3, 4, 2.
s(t) = (3 - 4t, 4 + 3t, 2 - 6t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto . Isso envolve entender como calcular a reta tangente a uma curva formada pela intersecção de duas superfícies. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradientes e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas superfícies envolvidas:
  1. Primeiro cilindro:
  2. Segundo cilindro:
Essas equações representam cilindros circulares com eixos diferentes. A curva de intersecção é onde esses dois cilindros se encontram.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente à curva de intersecção no ponto dado, precisamos achar a direção dessa reta. Essa direção é perpendicular aos vetores normais das superfícies nos pontos de intersecção.
Primeiro, calculamos os gradientes das funções que definem os cilindros, pois o gradiente de uma função em um ponto é um vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 4

Calculando os gradientes:
  1. Para :
    No ponto :
  2. Para :
    No ponto :

Passo 5

Agora que temos os vetores normais das duas superfícies no ponto de intersecção, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Esse vetor será a direção da reta tangente. Para isso, usamos o produto vetorial dos dois gradientes.
Calculando :
Simplificando, podemos dividir todos os componentes por 8:
Então, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 6

Agora que temos o vetor direção, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica:
Onde:
  • é o ponto dado
  • é o vetor direção
Portanto:
Ou, em componentes:

Resposta

A equação da reta tangente à curva de intersecção dos cilindros no ponto é:
Ou, em forma paramétrica:

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