Ao calcular o volume de um sólido abaixo de um paraboloide e acima de certa região do plano , obteve-se a seguinte expressão:
Identifique a região , expresse por uma integral dupla com a ordem invertida e calcule o volume.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está abaixo de um paraboloide definido por e acima de uma certa região no plano . A expressão dada para o volume é uma integral dupla dividida em duas partes:
Nosso objetivo é:
Identificar a região onde estamos integrando.
Reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida (primeiro em , depois em ).
Calcular o volume resultante dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual o sólido está definido. Observando os limites de integração:
Na primeira parte, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .
Na segunda parte, varia de 1 a 2 e, para cada , varia de 0 a .
Isso sugere que a região é composta por duas partes:
Um triângulo com vértices em , e .
Um triângulo com vértices em , e .
Juntando essas duas partes, a região forma um losango ou um quadrilátero com vértices em , , e . Porém, como os limites de são sempre positivos, a região está restrita ao primeiro quadrante, formando um triângulo maior com vértices em , e .
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Atualmente, a integração é feita primeiro em e depois em . Queremos trocar para primeiro integrar em e depois em .
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
Para : Observando a região , varia de 0 a 1 e, além disso, de 1 a 2.
Para : Para cada , varia de a .
Então, a integral com ordem invertida fica:
Passo 4
Agora que temos a ordem de integração invertida, vamos calcular o volume. Vamos resolver a integral passo a passo.