Ao calcular o volume de um sólido Omega abaixo de um paraboloide e acima de certa região D do plano x y, obteve-se a seguinte expressão:
vol(Omega)=integral0^1 integral0^y(x^2+y^2) d x d y+integral1^2 integral0^2-y(x^2+y^2) d x d y
Identifique a região D, expresse vol(Omega) por uma integral dupla com a ordem invertida e calcule o volume.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido Omega que está abaixo de um paraboloide definido por z = x^2 + y^2 e acima de uma certa região D no plano xy. A expressão dada para o volume é uma integral dupla dividida em duas partes:
vol(Omega)=integral0^1 integral0^y(x^2+y^2) dx, dy + integral1^2 integral0^2-y(x^2+y^2) dx, dy
Nosso objetivo é:
  1. Identificar a região D onde estamos integrando.
  2. Reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida (primeiro em y, depois em x).
  3. Calcular o volume resultante dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D sobre a qual o sólido está definido. Observando os limites de integração:
  • Na primeira parte, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a y.
  • Na segunda parte, y varia de 1 a 2 e, para cada y, x varia de 0 a 2 - y.
Isso sugere que a região D é composta por duas partes:
  1. Um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1).
  2. Um triângulo com vértices em (0,1), (1,1) e (0,2).
Juntando essas duas partes, a região D forma um losango ou um quadrilátero com vértices em (0,0), (1,1), (0,2) e (-1,1). Porém, como os limites de x são sempre positivos, a região está restrita ao primeiro quadrante, formando um triângulo maior com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2).

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Atualmente, a integração é feita primeiro em x e depois em y. Queremos trocar para primeiro integrar em y e depois em x.
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • Para x: Observando a região D, x varia de 0 a 1 e, além disso, de 1 a 2.
  • Para y: Para cada x, y varia de x a 2 - x.
Então, a integral com ordem invertida fica:
vol(Omega)=integral0^1 integralx^2 - x(x^2+y^2) dy, dx

Passo 4

Agora que temos a ordem de integração invertida, vamos calcular o volume. Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, expressamos a integral:
vol(Omega)=integral0^1 integralx^2 - x(x^2+y^2) dy, dx
Vamos integrar em relação a y primeiro.
  1. Integral interna:
integralx^2 - x(x^2 + y^2) dy = x^2 integralx^2 - x dy + integralx^2 - x y^2 dy
Calculando cada parte:
  • integralx^2 - x dy = (2 - x) - x = 2 - 2x
  • integralx^2 - x y^2 dy = y^33|x^2 - x = (2 - x)^33 - x^33
Então, substituindo:
x^2(2 - 2x) + (2 - x)^3 - x^33
Simplificando:
2x^2 - 2x^3 + (8 - 12x + 6x^2 - x^3) - x^33 = 2x^2 - 2x^3 + 8 - 12x + 6x^2 - 2x^33
Multiplicando cada termo por 3 para eliminar o denominador:
6x^2 - 6x^3 + 8 - 12x + 6x^2 - 2x^3 = 12x^2 - 8x^3 + 8 - 12x
Dividindo novamente por 3:
4x^2 - 83x^3 + 83 - 4x
  1. Integral externa:
Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 (4x^2 - 83x^3 + 83 - 4x) dx
Integrando termo a termo:
  • integral 4x^2 dx = 4x^33
  • integral -83x^3 dx = -812x^4 = -23x^4
  • integral 83 dx = 83x
  • integral -4x dx = -2x^2
Então, avaliando de 0 a 1:
[4(1)^33 - 23(1)^4 + 83(1) - 2(1)^2] - [0 - 0 + 0 - 0] = 43 - 23 + 83 - 2
Simplificando:
(4 - 2 + 83 - 2) = (103 - 2) = 103 - 63 = 43

Resposta

O volume do sólido Omega é dfrac43 unidades cúbicas.

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