Calcular onde é a região delimitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um círculo com raio 2 (já que ). A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo com integrais em coordenadas polares. Vamos precisar converter a integral de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e . Além disso, a área diferencial vira . Isso simplifica bastante quando a região de integração é um círculo.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. Substituindo por e por , a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Fazendo uma substituição simples, deixe , então ou . A integral vira:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
Calcule onde é a região delimitada por e .
Calcule , onde é a região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Calcular , onde é a região limitada por e .