Calcular
onde
é a região delimitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um círculo com raio 2 (já que
). A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo com integrais em coordenadas polares. Vamos precisar converter a integral de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
e
. Além disso, a área diferencial
vira
. Isso simplifica bastante quando a região de integração é um círculo.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. Substituindo
por
e
por
, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
ou
. A integral vira:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
c)
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
Calcule
, onde
é a região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcular
, onde
é a região limitada por
e
.