Calcule , onde é a região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região , que é delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a região é simétrica em torno do eixo z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, as variáveis e são substituídas por e , onde é a distância do ponto à origem no plano xy, e é o ângulo em relação ao eixo x. A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

A função em coordenadas cilíndricas fica , já que .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para , e .
  • varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (para cobrir toda a circunferência).
  • varia de 0 a 4 (limites dos planos).

Passo 5

Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, vem da função e o extra é do elemento de volume.

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integremos em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcular onde é a região delimitada por .
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
Calcular , onde é a região limitada por e .
Calcular , onde é a região interior ao cilindro e à esfera .