Calcule integral triplaB(x^2+y^2) d x d y d z, onde B é a região delimitada pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região , que é delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a região é simétrica em torno do eixo z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, as variáveis x = r cos theta y = r sin theta z = z e são substituídas por e , onde é a distância do ponto à origem no plano xy, e é o ângulo em relação ao eixo x. A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

A função em coordenadas cilíndricas fica , já que .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para , e .
  • varia de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a (para cobrir toda a circunferência).
  • varia de 0 a 4 (limites dos planos).

Passo 5

Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaB (x^2 + y^2) dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^4 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, vem da função e o extra é do elemento de volume.

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^4 dz = 4 primeiro:
4 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integremos em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
4 cdot 14 integral0^2pi dtheta = integral0^2pi dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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