Calcule
, onde
é a região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a região é simétrica em torno do eixo z.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, as variáveis
e
são substituídas por
e
, onde
é a distância do ponto à origem no plano xy, e
é o ângulo em relação ao eixo x. A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
A função
em coordenadas cilíndricas fica
, já que
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para
,
e
.
-
varia de 0 a 1 (raio do cilindro). -
varia de 0 a (para cobrir toda a circunferência). -
varia de 0 a 4 (limites dos planos).
Passo 5
Montando a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
vem da função e o
extra é do elemento de volume.
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integremos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcular
onde
é a região delimitada por
.
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
c)
Calcular
, onde
é a região limitada por
e
.
Calcular
, onde
é a região interior ao cilindro
e à esfera
.