Calcular , onde é a região limitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa calcular é a integral tripla , onde a região é limitada pelas superfícies e . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa integração, já que temos termos na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As duas equações que definem são parábolas invertidas. Para achar os limites de integração, vamos igualar as duas expressões de :
Isso simplifica para:
Então, a base da região é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o diferencial de volume fica:
A integral original se torna em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a (pois ).
  • varia de a (todo o círculo).
  • Para , a base inferior é e a base superior é .

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, multiplicamos (do ) pelo do diferencial .

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é a região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Calcular onde é a região delimitada por .
Calcular , onde é a região interior ao cilindro e à esfera .
Use séries de potências para resolver a EDO