Calcular integral triplaE raizx^2+y^2 d x d y d z, onde E é a região limitada por z=x^2+y^2-4 e z=4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa calcular é a integral tripla integral triplaE raizx^2+y^2 , dx , dy , dz, onde a região E é limitada pelas superfícies z = x^2 + y^2 - 4 e z = 4 - x^2 - y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar essa integração, já que temos termos x^2 + y^2 na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E. As duas equações que definem z são parábolas invertidas. Para achar os limites de integração, vamos igualar as duas expressões de z:
x^2 + y^2 - 4 = 4 - x^2 - y^2
Isso simplifica para:
2(x^2 + y^2) = 8 implies x^2 + y^2 = 4
Então, a base da região E é um círculo de raio 2 no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o diferencial de volume fica:
dV = r , dr , dtheta , dz
A integral original raizx^2 + y^2 se torna r em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • r varia de 0 a 2 (pois x^2 + y^2 = 4 implies r = 2).
  • theta varia de 0 a 2pi (todo o círculo).
  • Para z, a base inferior é z = r^2 - 4 e a base superior é z = 4 - r^2.

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 - 4^4 - r^2 r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 integralr^2 - 4^4 - r^2 r^2 , dz , dr , dtheta
Aqui, multiplicamos r (do raizx^2 + y^2) pelo r do diferencial dV.

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^2 - 4^4 - r^2 r^2 , dz = r^2 [ z ]r^2 - 4^4 - r^2 = r^2 ( (4 - r^2) - (r^2 - 4) ) = r^2 (8 - 2r^2) = 8r^2 - 2r^4

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (8r^2 - 2r^4) , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a r:
integral0^2 (8r^2 - 2r^4) , dr = 8 cdot r^33 |0^2 - 2 cdot r^55 |0^2 = 8 cdot 83 - 2 cdot 325 = 643 - 645 = 64 cdot 5 - 64 cdot 315 = 320 - 19215 = 12815

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 12815 , dtheta = 12815 cdot 2pi = 256pi15

Resposta

A integral tripla vale dfrac256,pi15.

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