Calcular , em que é a região no primeiro quadrante limitada por .

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla de sobre a região , que está no primeiro quadrante e limitada pelo círculo . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares porque a região é circular.

Passo 2

Em coordenadas polares, substituímos por e por . A área diferencial vira . A região no primeiro quadrante significa que vai de a e vai de a (já que implica ).

Passo 3

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:

Passo 4

Primeiro, resolvemos a integral interna com relação a :
Fazemos a substituição , então ou . A integral fica:
Avaliada de a , temos:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral externa com relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Calcular , em que é a região no primeiro quadrante limitada por .
Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem: