Calcular integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^32 d A, em que D é a região no primeiro quadrante limitada por x^2+y^2=4.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla de 1(1 + x^2 + y^2)^32 sobre a região D, que está no primeiro quadrante e limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares porque a região é circular.

Passo 2

Em coordenadas polares, substituímos x por r cos theta e y por r sin theta. A área diferencial dA vira r,dr,dtheta. A região D no primeiro quadrante significa que theta vai de 0 a pi2 e r vai de 0 a 2 (já que x^2 + y^2 = 4 implica r = 2).

Passo 3

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaD 1(1 + x^2 + y^2)^32 dA = integral0^pi2 integral0^2 1(1 + r^2)^32 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Primeiro, resolvemos a integral interna com relação a r:
integral0^2 r(1 + r^2)^32 dr
Fazemos a substituição u = 1 + r^2, então du = 2r,dr ou r,dr = du2. A integral fica:
12 integral 1u^32 du = -1raizu + C = -1raiz1 + r^2 + C
Avaliada de 0 a 2, temos:
-1raiz5 + 1 = 1 - 1raiz5

Passo 5

Agora, resolvemos a integral externa com relação a theta:
integral0^pi2 (1 - 1raiz5 ) dtheta = (1 - 1raiz5 ) cdot pi2

Resposta

A integral vale pi2 (1 - 1raiz5).

Exercícios relacionados