Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que está no primeiro quadrante e limitada pelo círculo
. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares porque a região é circular.
Passo 2
Em coordenadas polares, substituímos
por
e
por
. A área diferencial
vira
. A região
no primeiro quadrante significa que
vai de
a
e
vai de
a
(já que
implica
).
Passo 3
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 4
Primeiro, resolvemos a integral interna com relação a
:
Fazemos a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Avaliada de
a
, temos:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral externa com relação a
:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.
Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem: