Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às condições que fazem uma série somar a um valor finito (convergir) ou não (divergir). Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da nossa série:
. Aqui,
é o logaritmo natural de
, e
é
ao cubo. À medida que
cresce,
cresce mais devagar que qualquer potência de
. Então, mesmo que
aumente,
cresce muito mais rápido, fazendo com que o termo geral da série diminua.
Passo 3
Agora, escolhemos uma série para comparar. Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso, temos
, então a série
converge.
Passo 4
Usando o Teste da Comparação, comparamos os termos das duas séries:
Aqui, usamos que
para
. Sabemos que
também converge (pois
).
Passo 5
Como os termos da nossa série original são menores que os termos de uma série que já sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo: