Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^+infty ln (n)n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às condições que fazem uma série somar a um valor finito (convergir) ou não (divergir). Para resolver, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da nossa série: . Aqui, é o logaritmo natural de , e é ao cubo. À medida que cresce, cresce mais devagar que qualquer potência de . Então, mesmo que aumente, cresce muito mais rápido, fazendo com que o termo geral da série diminua.

Passo 3

Agora, escolhemos uma série para comparar. Sabemos que a série converge se . No nosso caso, temos , então a série converge.

Passo 4

Usando o Teste da Comparação, comparamos os termos das duas séries:
0 < ln(n)n^3 < nn^3 = 1n^2
Aqui, usamos que para . Sabemos que também converge (pois ).

Passo 5

Como os termos da nossa série original são menores que os termos de uma série que já sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, a série também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados