Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o outro com r < 0.
(1, pi/4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente trabalhar com coordenadas polares, que são uma maneira de localizar pontos no plano usando duas informações: a distância do ponto até a origem, chamada de , e o ângulo que essa linha forma com o eixo positivo . Precisamos marcar o ponto dado e encontrar duas outras maneiras de representar esse mesmo ponto, uma com e outra com .

Passo 2

Primeiro, vamos marcar o ponto com as coordenadas polares . Aqui, significa que o ponto está a 1 unidade de distância da origem. O ângulo radianos (que é 45 graus) indica a direção dessa distância. Para plotar, você começa na origem, move 1 unidade na direção de 45 graus em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar outro par de coordenadas com . Uma das propriedades das coordenadas polares é que adicionar ao ângulo não muda a direção, já que radianos é uma volta completa. Então, podemos escrever:
Esse novo par ainda aponta para o mesmo ponto, só que o ângulo está ajustado para uma volta completa a mais.

Passo 4

Agora, vamos achar um par com . Quando o raio é negativo, a direção do ponto é invertida, ou seja, apontamos na direção oposta. Para ajustar o ângulo, adicionamos radianos (180 graus). Então, temos:
Esse par também representa o mesmo ponto, mas com o raio negativo e o ângulo ajustado para apontar na direção contrária.

Resposta

Dois outros pares de coordenadas polares para o mesmo ponto são:
  • Com :
  • Com :

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