Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo aqui é determinar se essa sequência converge para algum valor específico ou se ela diverge, ou seja, não se aproxima de nenhum número específico conforme
cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função arco-tangente (
) e como ela se comporta quando dividida por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é a função inversa da tangente e que
se aproxima de
conforme
tende ao infinito. Isso porque a tangente de
é indefinida e a
se aproxima desse valor à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, considerando a sequência
, queremos encontrar o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
e
. Então, substituindo:
Passo 4
Calculando o limite
, sabemos que conforme
cresce,
se aproxima de 0. Portanto:
Resposta
A sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem: