Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo aqui é determinar se essa sequência converge para algum valor específico ou se ela diverge, ou seja, não se aproxima de nenhum número específico conforme cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função arco-tangente ( ) e como ela se comporta quando dividida por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é a função inversa da tangente e que se aproxima de conforme tende ao infinito. Isso porque a tangente de é indefinida e a se aproxima desse valor à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, considerando a sequência , queremos encontrar o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que e . Então, substituindo:

Passo 4

Calculando o limite , sabemos que conforme cresce, se aproxima de 0. Portanto:

Resposta

A sequência converge para .

Exercícios relacionados

Calcular , em que é a região no primeiro quadrante limitada por .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem: