Calcular , em que é a região no primeiro quadrante limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propõe! A gente precisa calcular , onde é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência . Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas e geometria no plano cartesiano. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. A região é uma parte de uma circunferência, e como as coordenadas polares são perfeitas para lidar com círculos, elas vão simplificar nossos cálculos. Nas coordenadas polares, a relação entre e é dada por:
Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 3

Vamos converter a função que vamos integrar para coordenadas polares. A expressão se torna em coordenadas polares, então:
Nossa integral agora fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante e a circunferência tem raio 2 ( ), os limites são:
éé
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral com relação a primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral de :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que e .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
Calcular , em que é a região no primeiro quadrante limitada por .