Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propõe! A gente precisa calcular
, onde
é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência
. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas e geometria no plano cartesiano. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. A região
é uma parte de uma circunferência, e como as coordenadas polares são perfeitas para lidar com círculos, elas vão simplificar nossos cálculos. Nas coordenadas polares, a relação entre
e
é dada por:
Além disso, a área diferencial
em coordenadas polares é
.
Passo 3
Vamos converter a função que vamos integrar para coordenadas polares. A expressão
se torna
em coordenadas polares, então:
Nossa integral agora fica:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante e a circunferência tem raio 2 (
), os limites são:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral com relação a
primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral de
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Encontre as coordenadas polares de cada ponto, em que
e
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
Calcular
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada por
.