Calcular integral duplaD(x^2+y^2)^2 d A, em que D é a região no primeiro quadrante limitada por x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propõe! A gente precisa calcular , onde é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência . Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas e geometria no plano cartesiano. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. A região x = r cos(theta) e y = r sin(theta) é uma parte de uma circunferência, e como as coordenadas polares são perfeitas para lidar com círculos, elas vão simplificar nossos cálculos. Nas coordenadas polares, a relação entre e é dada por:
Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 3

Vamos converter a função que vamos integrar para coordenadas polares. A expressão (x^2+y^2)^2 = (r^2)^2 = r^4 se torna integral duplaD r^4 cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^5 , dr , dtheta em coordenadas polares, então:
Nossa integral agora fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante e a circunferência tem raio 2 ( theta: 0 até pi2 e r: 0 até 2 integral0^pi2 integral0^2 r^5 , dr , dtheta ), os limites são:
éé
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral com relação a integral0^2 r^5 , dr = [ r^66 ]0^2 = 2^66 - 0^66 = 646 = 323 primeiro:
integral0^pi2 323 , dtheta = 323 [ theta ]0^pi2 = 323 cdot pi2 = 16pi3
Agora, substituímos esse resultado na integral de :

Resposta

O valor da integral é .

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