Calcular a integral , onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos e
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos e . O conteúdo que vamos utilizar é a integração em coordenadas polares, que é especialmente útil para regiões circulares. Precisaremos transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas polares . As fórmulas de transformação são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em . Então, a nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como a região está no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . Além disso, a região está entre os círculos de raio e , então o raio varia de a .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :