Calcular a integral integral duplaD 1x^2+y^2 d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaD 1x^2 + y^2 , dx , dy, onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. O conteúdo que vamos utilizar é a integração em coordenadas polares, que é especialmente útil para regiões circulares. Precisaremos transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). As fórmulas de transformação são:
x = r cos theta y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dx , dy em coordenadas polares se transforma em r , dr , dtheta. Então, a nossa integral fica:
integral duplaD 1x^2 + y^2 , dx , dy = integral duplaD 1r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaD 1r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta. Como a região D está no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2. Além disso, a região está entre os círculos de raio 1 e 2, então o raio r varia de 1 a 2.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral1^2 1r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r:
integral1^2 1r , dr = ln r |1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2
Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^pi2 ln 2 , dtheta = ln 2 cdot ( pi2 - 0 ) = pi2 ln 2

Resposta

O valor da integral é pi2 ln 2.

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