Calcular a integral , onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos e

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos e . O conteúdo que vamos utilizar é a integração em coordenadas polares, que é especialmente útil para regiões circulares. Precisaremos transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas polares . As fórmulas de transformação são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em . Então, a nossa integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como a região está no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . Além disso, a região está entre os círculos de raio e , então o raio varia de a .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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resp:
Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp:
Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp: .
Determine as integrais definidas: