Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função definida por uma integral:
O que vamos precisar:
  • Conteúdo: Derivadas de funções definidas por integrais.
  • Ferramentas: Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a regra de Leibniz funciona. Quando temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de , a derivada dessa função é dada por:
Explicação:
  • é a função dentro da integral.
  • e são os limites inferior e superior, que podem depender de .
  • e são as derivadas dos limites em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz ao nosso problema:
  • Função dentro da integral:
  • Limite inferior:
  • Limite superior: (porque 1 é constante)
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
  1. Calculando o primeiro termo:
  2. Calculando o segundo termo:
Então, a derivada fica:

Resposta

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Calcular a integral , onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos e
resp:
Determine as integrais definidas:
Calcular , utilizando a mudança de variáveis onde é a região do