Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função definida por uma integral:
O que vamos precisar:
- Conteúdo: Derivadas de funções definidas por integrais.
- Ferramentas: Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a regra de Leibniz funciona. Quando temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
, a derivada dessa função é dada por:
Explicação:
-
é a função dentro da integral. -
e são os limites inferior e superior, que podem depender de . -
e são as derivadas dos limites em relação a .
Passo 3
Aplicando a regra de Leibniz ao nosso problema:
- Função dentro da integral:
- Limite inferior:
→ - Limite superior:
→ (porque 1 é constante)
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
-
Calculando o primeiro termo:
-
Calculando o segundo termo:
Então, a derivada fica:
Resposta
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Calcular a integral
, onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos
e
Determine as integrais definidas:
Calcular
, utilizando a mudança de variáveis
onde
é a região do