Determine as derivadas das seguintes funções:
f(x)=integralx^2^1 t^4+1t^2+1 dt (Resp: f^prime(x)=-2 x cdot x^8+1x^4+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função definida por uma integral:
f(x) = integralx^2^1 t^4 + 1t^2 + 1 , dt
O que vamos precisar:
  • Conteúdo: Derivadas de funções definidas por integrais.
  • Ferramentas: Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a regra de Leibniz funciona. Quando temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa função é dada por:
Explicação:
  • é a função dentro da integral.
  • e são os limites inferior e superior, que podem depender de .
  • e são as derivadas dos limites em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz ao nosso problema:
  • Função dentro da integral: f'(x) = 1^4 + 11^2 + 1 cdot 0 - (x^2)^4 + 1(x^2)^2 + 1 cdot 2x
  • Limite inferior:
  • Limite superior: (porque 1 é constante)
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
  1. Calculando o primeiro termo:
    1^4 + 11^2 + 1 cdot 0 = 1 + 11 + 1 cdot 0 = 22 cdot 0 = 0
  2. Calculando o segundo termo:
    (x^2)^4 + 1(x^2)^2 + 1 cdot 2x = x^8 + 1x^4 + 1 cdot 2x
Então, a derivada fica:
f'(x) = 0 - 2x cdot x^8 + 1x^4 + 1

Resposta

f^prime(x) = -2x cdot x^8 + 1x^4 + 1

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